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常见函数讲解1：欧拉函数
前言
作者在OI生活早期的时候，经常遇到一些数学题不会，点开题解发现许多跟数论上的函数有关，题解的语言又晦涩难懂，从此对数学心有余悸，相信许多OIer也同样是如此。这几篇博客，作者将对OI数论中常出现的几个函数进行解读，希望读者能解开对数学的心结。
积性函数
概念
积性函数是对数论中一系列有特殊性质函数的统称，性质如下：
特别地，假如对于任意的a、b，即gcd(a,b)≠1gcd(a,b)≠1也有f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)，那么称f是完全积性函数。
小扩展
一个有趣的事实：
常见积性函数
1、e(n)=[n=1]e(n)=[n=1].
单位元函数，即只有在nn为1的时候函数值为1，其它时候函数值均为0.
2、id(n)=nid(n)=n.
这个可以理解成就是y=xy=x.
3、1(n)=11(n)=1.
可以理解成直线y=1y=1.
4、φ(n)=∑ni=1[gcd(i,n)=1]φ(n)=∑i=1n[gcd(i,n)=1].
欧拉函数，本次要讲解的主角，表示小于n且与n互质的正整数的个数.
5、μ(n)={0, ∃d>1,d2|n(−1)k,n=∏ki=1piμ(n)={(−1)k,n=∏i=1kpi0, ∃d>1,d2|n
莫比乌斯函数，本文不作探究，详见下一篇博客。
小结
积性函数在数论中十分常见，一个函数假如有积性那么就多了许多解析的方法，在你涉（shua）猎（ti）的数值达到一定量的时候会发现积性是个亲切的东西，比如我们可以利用欧拉函数和莫比乌斯函数的积性来进行线性筛，O(n)时间求得所有欧拉函数、莫比乌斯函数值。
欧拉函数
注：阅读以下内容时请拿出笔和纸，下面涉及的计算量比较大，用笔算一算将助于理解。
概念
正如上一节所述，欧拉函数φ(n)φ(n)表示的含义即是小于n且与n互质的正整数的个数。定义式如下：
基本性质
- 1.对于一个质数p，φ(p)=p−1.φ(p)=p−1.
证明：根据质数的定义，对于任意一个不是p倍数的正整数x，总有gcd(p,x)=1gcd(p,x)=1，即p与x互质。在1~p之间，只有1××p是p的倍数，故在1~p中，与p互质的数为1到p-1，共p-1个，φ(p)=p−1φ(p)=p−1。
- 2.对于一个质数p，φ(pk)= pk−pk−1= pk−1×(p−1)= pk−1×φ(p)φ(pk)= pk−pk−1= pk−1×(p−1)= pk−1×φ(p).
证明：我们知道，在1~p之间与p不互质的数共1个，在1~2××p之间与p不互质的数共2个……在1~pk−1×ppk−1×p之间有pk−1pk−1个。所以在1~pkpk之间与p不互质的数有pk−1pk−1个，互质的那就是pk−pk−1pk−pk−1，故φ(pk)= pk−pk−1φ(pk)= pk−pk−1，即第二个式子。然后提取公因数pk−1pk−1得到第三个式子。结合性质1得到第四个式子。
- 3.对于一个数n，我们将其质因数分解为n=∏ki=1prii∏i=1kpiri，那么
φ(n)= ∏i=1kφ(prii)= ∏i=1kpri−1×(p−1)= n×∏i=1k(1−1pi)φ(n)= ∏i=1kφ(piri)= ∏i=1kpri−1×(p−1)= n×∏i=1k(1−1pi).
证明：由于欧拉函数有积性，φ(ab)=φ(a)φ(b)φ(ab)=φ(a)φ(b)，所以有φ(n)= ∏ki=1φ(prii)φ(n)= ∏i=1kφ(piri)。结合性质2的第三个式子，我们可以得到第三个式子。对于第三个式子，我们提取一个公因子p，得到
扩展性质
- 1.假如a，b不互质，那么φ(ab)φ(ab)等于什么呢？
证明：
将a、b、d质因数分解成
所以，我们将原式转化成如下形式：
对上面那一长串式子进行约分，我们发现右边等于左边，得证。
- 2.对于任意正整数n，φ(n)φ(n)与nn有什么样的关系？
证明：
我们不妨换个角度思考一下。
我们知道n=∑ni=11n=∑i=1n1，如何解读这个简单式子呢？我们把n看成一个确定的数，这个式子就可以理解成：枚举1~n中的每一个数i，每个f(n,i)f(n,i)只产生1的贡献，统计每个f(n,i)f(n,i)产生的贡献和。
换句话说，我们本来想统计∑ni=1f(n,i)∑i=1nf(n,i)，但由于每一个f(n,i)f(n,i)都等于1，所以变成了∑ni=11.∑i=1n1.
于是，现在的关键变成了寻找这个特殊的f(n,i).f(n,i). 正好我们发现了一个。
我们知道，在1~n中的每一个i，它与n的最大公约数有且仅有一个，且最大公约数一定在1~n这个范围之内。我们可以令f(n,i)=[gcd(n,i)=d]f(n,i)=[gcd(n,i)=d]，（[中括号]内的表达式若为真则值为1，否则为0）然后在1~n中枚举最大公约数d，对每一个i进行判断，不就满足上面的式子了！
也就是：
其中d枚举的是最大公约数，i枚举的是1~n中的每一个i，f(n,i)=[gcd(n,i)=d]f(n,i)=[gcd(n,i)=d]。
其实我们发现，d的取值一定是n的约数，并不需要枚举1~n中的所有数，所以有：
对上面第三个式子进一步转化：
观察上面第二个式子，之所以转化成这么鬼畜的东西是因为第一个式子中[gcd(n,i)=d][gcd(n,i)=d]这个式子值为1的时候，dd一定是ii的约数，所以在第二个式子中也必须要满足dd是ii的约数时，[gcd(nd,id)=1][gcd(nd,id)=1]才有贡献。
转化到这里，细心的读者估计也发现了，第二个式子中idid的取值范围实际上是1~ndnd，所以∑ni=1[gcd(nd,id)=1]×[ d|i ]∑i=1n[gcd(nd,id)=1]×[ d|i ] 其实就是在枚举在1~ndnd中，有多少个数与ndnd互质，这不就是φ(nd)φ(nd)吗？
至此，我们便将原式转化成：
得证。
其实还有一种有趣的证明，我会在后面连同上面积性函数小扩展的证明一同发布一篇博客。
欧拉函数求法
- 1.质因数分解.
假如我们只想求解1个或者少量正整数的欧拉函数，那么
根据基本性质3，
我们可以把n质因数分解，然后带入上述第三个式子求得。时间复杂度O(n−−√n).
int get_phi(int n){
int back = n;
for(int p = 2; p*p <= n; ++ p){
if(n%p == 0){
back = back/p*(p-1);
while(n%p == 0)
n /= p;
}
}
if(n != 1)
back = back/n*(n-1);
return back;
}- 1
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- 2.线性筛
注：默认读者已经掌握线性筛质数.
假如想要求1~n范围内所有数的欧拉函数，那么上面的质因数分解法的复杂度会高达O(nn−−√)O(nn)，有没有更快速的方法呢？
由于欧拉函数有积性，所以结合扩展性质1：
我们可以通过线性筛质数，在筛出合数x×prijx×prij的同时计算出φ(x×prij)φ(x×prij)。（注：prijprij为已经筛出来的质数，见线性筛）
不过，需要分2种情况计算：
-
x与prijprij互质.
这种情况比较简单。由于d=1d=1，φ(d)=1φ(d)=1，所以
φ(x×prij)=φ(x)×φ(prij)φ(x×prij)=φ(x)×φ(prij)直接计算即可。 -
x与prijprij不互质.
这种情况下，xx只可能是prijprij的倍数，故d=gcd(x,prij)=prijd=gcd(x,prij)=prij，所以：φ(x×prij)=φ(x)φ(prij)prijφ(prij)=φ(x)×prij.φ(x×prij)=φ(x)φ(prij)prijφ(prij)=φ(x)×prij.
带入计算即可。
bool vis[1000005];
int tot=0, pri[1000005], phi[1000005];
void Get_phi(int N){
phi[1] = 1;
for(int i=2; i<=N; ++i){
if(!vis[i]){
pri[++tot] = i;
phi[i] = i-1;
}
for(int j=1,x; j<=tot&&(x=i*pri[j])<=N; ++j){
vis[x] = true;
if(i%pri[j] == 0){
phi[x] = phi[i]*pri[j];
break;
}
else phi[x] = phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
}- 1
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- 20
小结
欧拉函数的讲解就先告一段落，其实欧拉函数与其它的函数甚至定理有许多关联的地方，我将在今后为大家讲解。假如有地方没有听懂，随时欢迎骚扰。