GMOJ 6912 数论(math)
(Description)
求
(Data)
(n, m leq 10^7)
(Solution)
一遇到数论题就捉瞎，所以还是要认真写一写，水平较低（危）。
首先 ([i ot k][j ot k]) 显然与 ([ij ot k]) 等价，那么最后一个求和可以转化为 (sum limits_{k = 1}^{ij}{[ij ot k] k})。但它还是很丑，考虑更相减损法：若 (gcd(x, y) = 1)， 则 (gcd(x, x - y) = 1)，也就是说对于比 (x) 小且与它互质的数是成对出现的且它们的和等与 (x)
那么最后一个求和便可以转化为 (frac{1}{2}(ijvarphi{(ij)} + [ij = 1]))，原式便转化为：
设 (gcd(i,j) = d)，稍微化简一下：
有一个 (varphi(ij)) 并不好做，考虑如何去掉此项，首先可以得到：(varphi(ij) = frac{varphi{(i) varphi{(j)} d}}{varphi{(d)}})
证明：
考虑 (varphi{(n)} = n prod{frac{p_i - 1}{p_i}})，设 (varphi{(i)} = i prod{frac{p_{i'} - 1}{p_{i'}}}, varphi{(j)} = j prod{frac{p_{j'} - 1}{p_{j'}}})，
那么 (varphi{(i)}varphi{(j)} = varphi{(i)} = ij prod{frac{p_{i'} - 1}{p_{i'}}} prod{frac{p_{j'} - 1}{p_{j'}}})，但是对于 (i, j) 共同的质因子会乘重，而重复的质因子恰好是 (d) 的质因子，
所以除以 (varphi{(d)} = d prod{frac{p_{k'} - 1}{p_{k'}}})，多除了 (d) 乘回去
代入原式得：
将 (d) 提前：
([gcd(i, j) = d]) 显然利用莫比乌斯反演结论化简：
化简到这式子变得和谐了很多（也长了很多），但是仍然不方便求值唔，考虑提前 (du)，令 (T = du)：
这样子把式子分成了四个求和（一大三小），第二个第三个求和类似，可以预处理：
- 设 (G(x) = sum limits_{x | i}{i varphi{(i)}})，考虑如何预处理。
- 首先 (G(x) = x varphi{(x)})，然后考虑从小到大枚举质数 (p)，对于每个质数 (p)，我们从后往前枚举 (x)，每次 (G(x) += G(xp))
- 比较显然这是对的，时间复杂度 (O(n loglogn))
然后对于最后一个求和：
首先 (d^{n + 1}) 是完全积性函数，(varphi{(d)}) 是积性函数，所以 (frac{1}{varphi{(d)}}) 也是积性函数，(mu{(frac{T}{d})}) 显然也是积性函数
设 (F(d) = sum limits_{d | T}{frac{d^{n + 1}}{varphi{(d)}}{mu{(frac{T}{d})}}})，那么 (F(d)) 也是积性函数，那么我们思考是否能线性筛出 (F(d))，首先可得：
-
(F(1) = 1)
-
(F(p) = frac{p^{n + 1}}{p - 1} - 1)
-
(F(p^c) = frac{p^{c(n + 1)}}{p^c - p^{c - 1}} - frac{p^{(c - 1)(n + 1)}}{p^{c - 1} - p^{c - 2}})
对于任意合数 (d)，设 (d) 的最小质因子为 (p)，指数为 (c)，那么 (gcd(p^c, frac{d}{p^c}) = 1)，由积性函数的定义可得 (F(d) = F(frac{d}{p^c})·F(p^c))，
考虑欧拉筛线性处理 (p)，同时可以得到 (c)，那么便可以线性处理出 (F(d)) 辣！
嗯没错我们做完了，最后补一句欧拉筛需要处理的东西：(varphi, mu, F(d), p, c)。(1e7) 比较大最好预处理逆元。
(Code)
#include <cstdio>
#define N 10000000
#define mo 998244353
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++ i)
#define fd(i, x, y) for(int i = x; i >= y; -- i)
#define min(x, y) (x < y ? x : y)
#define ll long long
int p[N + 1], c[N + 1], d[N + 1], mu[N + 1], phi[N + 1], inv[N + 1], f[N + 1], g[2][N + 1], mi[N + 1], vis[N + 1];
int n, m, tot = 0;
int Fast(int x, int k) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = 1ll * res * x % mo;
x = 1ll * x * x % mo;
k >>= 1;
}
return res;
}
void Initg(int t1, int t2) {
fo(i, 1, t2)
g[t1][i] = 1ll * phi[i] * i % mo;
fo(i, 1, tot) fd(j, t2 / p[i], 1)
(g[t1][j] += g[t1][j * p[i]]) %= mo;
}
void Init() {
inv[1] = 1;
fo(i, 2, n)
inv[i] = (ll) (mo - mo / i) * inv[mo % i] % mo;
f[1] = 1, mu[1] = 1, phi[1] = 1;
int x = 0, d1 = 0, mi1 = 0;
fo(i, 2, N) {
if (! vis[i]) {
p[ ++ tot ] = i, mu[i] = -1, phi[i] = i - 1, c[i] = d[i] = i;
f[i] = 1ll * (mi[i] = Fast(i, n + 1)) * inv[i - 1] % mo - 1;
}
fo(j, 1, tot) {
if (1ll * i * p[j] > N) break;
x = i * p[j];
vis[x] = 1;
if (i % p[j])
mu[x] = - mu[i], phi[x] = phi[i] * phi[p[j]];
else
mu[x] = 0, phi[x] = phi[i] * p[j];
d1 = c[i] == p[j] ? d[i] : 1, mi1 = c[i] == p[j] ? mi[i] : 1;
c[x] = p[j], d[x] = d1 * p[j];
if (x == d[x]) {
f[x] = (1ll * (mi[x] = 1ll * mi1 * mi[p[j]] % mo) * inv[d[x] - d1] % mo - 1ll * mi1 * inv[d1 - d1 / p[j]] % mo + mo) % mo;
} else {
f[x] = 1ll * f[d[x]] * f[x / d[x]] % mo;
}
if (i % p[j] == 0) break;
}
}
Initg(0, n), Initg(1, m);
}
int main() {
freopen("math.in", "r", stdin);
freopen("math.out", "w", stdout);
scanf("%d %d", &n, &m);
Init();
int ans = 0; int top = min(n, m);
fo(i, 1, top)
(ans += 1ll * g[0][i] * g[1][i] % mo * f[i] % mo) %= mo;
ans = 1ll * ans * inv[2] % mo + inv[2];
printf("%d
", ans % mo);
return 0;
}