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题解
主席太神仙了!
首先我们把题意转化成:对所有挺好序列建 笛卡尔树,有多少笛卡尔树互不同构。
容易推出 dp 式子:$f[i][j]$ 表示 $j$ 个数,他们的 max 为 i 。
$$f[i][j] = sum_{k=0}^{j-1} f[i-1][k] * f[i][j-k-1]\f[i][0] = 1\f[0][i] = 0(i>0)\f[1][i] = 1$$
这里注意一下:设当前的max为 v,左侧区间的max为 maxL,右侧为 maxR,那么由于每次是取区间最大值的最靠左下标,所以 maxL<v,而 maxR<=v 。
先不考虑每 1...m 每一个数都要出现。
可以发现,如果 maxL<v-1 ,那么只要将左子树的所有节点都加上 v-1-MaxL ,那么 maxL<v-1 的任意一种情况都可以在 maxL=v-1 时的所有情况中找到同构的情况。
右侧也类似。
所以左侧只往 i-1转移,右侧只往 i 转移。这样本身显然是没有同构了。
现在考虑 1...m 每一个数都要出现。
显然如果 n<m 那么答案为 0 。
否则,显然 1...m 不用全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S1) 包含了 1...m 全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S2)。
接下来我们来说明一下 S1 的每一种笛卡尔树都与 S2 的一种笛卡尔树对应。
如果 S1 中的一棵笛卡尔树本来就包含了 1...m ,那么直接对应即可。
如果 S1 中的一棵笛卡尔树少包含了一些,那么由于 n>=m ,一定可以在不改变笛卡尔树的同时调节节点权值使得 1..m 都出现,于是也可以对应 S2 中的一种笛卡尔树。
由于 S1 中的任意两个笛卡尔树互不同构,所以 S1 与 S2 的元素一一对应,也就是说 |S1|=|S2| 。
于是我们要求的就是 $f[m][n]$ 。
设多项式 $f_i(x)$ 满足 $f_i(x)[j]=f[i][j]$ ,那么我们可以得到递推式:
$$f_i(x) = x f_{i-1}(x)f_i(x) + 1\f_i(x) = frac{1}{1-xf_{i-1}(x)}$$
这个式子很棘手。
我们把他表示成 $frac{A_i(x)}{B_i(x)}$ 的形式,再推一推:
$$frac{A_i(x)}{B_i(x)} = frac 1 {1-xfrac{A_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x)}}\=frac{B_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x) }$$
于是我们可以得到线性递推式:
$$A_i(x) = B_{i-1}(x)$$
$$B_i(x) = B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x)$$
于是我们可以得到:
$$egin{bmatrix}0 & 1\-x & 1 end{bmatrix}egin{pmatrix}A_{i-1}(x)\B_{i-1}(x)end{pmatrix}=egin{pmatrix}A_i(x)\B_i(x)end{pmatrix}$$
其中 $A_0(x) = B_0(x) = 1$ 。
直接暴力把多项式当做矩阵中的元素,复杂度 $O(nlog ^2 n)$ 。
直接把单位根代入,直接得到 $A_m(x)$ 和 $B_m(x)$ 的点值,最后 DFT 回来。时间复杂度 $O(nlog n)$ 。
还要写个多项式求逆。
所以总时间复杂度 $O(nlog n )$ 。
好像有个 $O(n)$ 的神仙做法。不会。告辞。
代码
#pragma GCC optimize("Ofast","inline") #include <bits/stdc++.h> #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x)) #define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++) #define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second #define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I') #define outval(x) printf(#x" = %d ",x) #define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("") #define outtag(x) puts("----------"#x"----------") #define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R); For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts(""); using namespace std; typedef long long LL; LL read(){ LL x=0,f=0; char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=getchar(); while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return f?-x:x; } const int N=1<<20,mod=998244353; void Add(int &x,int y){ if ((x+=y)>=mod) x-=mod; } void Del(int &x,int y){ if ((x-=y)<0) x+=mod; } int Pow(int x,int y){ int ans=1; for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod) if (y&1) ans=(LL)ans*x%mod; return ans; } namespace poly{ int w[N],R[N]; int a[N],b[N]; void prework(int n,int d){ For(i,0,n-1) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1)); w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n); For(i,2,n-1) w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod; } void FFT(int a[],int n){ For(i,0,n-1) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]); for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1) for (int i=0;i<n;i+=d<<1) for (int j=0;j<d;j++){ int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod; a[i+j+d]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod; Add(a[i+j],tmp); } } vector <int> Mul(vector <int> A,vector <int> B){ static vector <int> ans; ans.clear(); int n,d; for (n=1,d=0;n<A.size()+B.size();n<<=1,d++); prework(n,d); For(i,0,n-1) a[i]=b[i]=0; For(i,0,(int)A.size()-1) a[i]=A[i]; For(i,0,(int)B.size()-1) b[i]=B[i]; FFT(a,n),FFT(b,n); For(i,0,n-1) a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod; w[1]=Pow(w[1],mod-2); For(i,2,n-1) w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod; FFT(a,n); int inv=Pow(n,mod-2); For(i,0,n-1) ans.pb((LL)a[i]*inv%mod); while (!ans.empty()&&!ans.back()) ans.pop_back(); return ans; } vector <int> Get_Inv(vector <int> a,int n){ static vector <int> A,B,tmp; A.clear(),B.clear(); B.pb(Pow(a[0],mod-2)); for (int d=1;d<=n*2;d<<=1){ while (A.size()<=d) if (a.size()>d) A.pb(a[A.size()]); else A.pb(0); tmp=Mul(A,Mul(B,B)); tmp.resize(d+1,0); B.resize(d+1,0); For(i,0,d) B[i]=(2LL*B[i]-tmp[i]+mod)%mod; } B.resize(n+1,0); return B; } } using poly::FFT; using poly::Mul; using poly::Get_Inv; struct Mat{ int v[2][2]; Mat(){} Mat(int x){ clr(v); For(i,0,1) v[i][i]=x; } Mat(int v00,int v01,int v10,int v11){ v[0][0]=v00,v[0][1]=v01; v[1][0]=v10,v[1][1]=v11; } friend Mat operator * (Mat A,Mat B){ Mat ans(0); For(i,0,1) For(j,0,1) For(k,0,1) ans.v[i][j]=((LL)A.v[i][k]*B.v[k][j]+ans.v[i][j])%mod; return ans; } }; Mat Pow(Mat x,int y){ Mat ans(1); for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ans=ans*x; return ans; } int n,m; int k,d; int a[N],b[N]; vector <int> A,B; int solve(int n,int m){ if (n<m) return 0; for (k=1,d=0;k<=n;k<<=1,d++); poly::prework(k,d); For(i,0,k-1){ Mat res=Pow(Mat(0,1,(mod-poly::w[i])%mod,1),m)*Mat(1,0,1,0); a[i]=res.v[0][0],b[i]=res.v[1][0]; } poly::w[1]=Pow(poly::w[1],mod-2); For(i,2,k-1) poly::w[i]=(LL)poly::w[i-1]*poly::w[1]%mod; FFT(a,k),FFT(b,k); A.clear(),B.clear(); For(i,0,n) A.pb(a[i]),B.pb(b[i]); A=Mul(A,Get_Inv(B,n)); A.resize(n+1,0); return A[n]; } int main(){ n=read(),m=read(); cout<<solve(n,m)<<endl; return 0; }