• UOJ#424. 【集训队作业2018】count 多项式,FFT,矩阵


    原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ424.html

    题解

    主席太神仙了!

    首先我们把题意转化成:对所有挺好序列建 笛卡尔树,有多少笛卡尔树互不同构。

    容易推出 dp 式子:$f[i][j]$ 表示 $j$ 个数,他们的 max 为 i 。

    $$f[i][j] = sum_{k=0}^{j-1} f[i-1][k] * f[i][j-k-1]\f[i][0] = 1\f[0][i] = 0(i>0)\f[1][i] = 1$$

    这里注意一下:设当前的max为 v,左侧区间的max为 maxL,右侧为 maxR,那么由于每次是取区间最大值的最靠左下标,所以 maxL<v,而 maxR<=v 。

    先不考虑每 1...m 每一个数都要出现。

    可以发现,如果 maxL<v-1 ,那么只要将左子树的所有节点都加上 v-1-MaxL ,那么 maxL<v-1 的任意一种情况都可以在 maxL=v-1 时的所有情况中找到同构的情况。

    右侧也类似。

    所以左侧只往 i-1转移,右侧只往 i 转移。这样本身显然是没有同构了。

    现在考虑 1...m 每一个数都要出现。

    显然如果 n<m 那么答案为 0 。

    否则,显然 1...m 不用全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S1) 包含了 1...m 全部出现的情况下的所有笛卡尔树构成的集合(设为 S2)。

    接下来我们来说明一下 S1 的每一种笛卡尔树都与 S2 的一种笛卡尔树对应。

    如果 S1 中的一棵笛卡尔树本来就包含了 1...m ,那么直接对应即可。

    如果 S1 中的一棵笛卡尔树少包含了一些,那么由于 n>=m ,一定可以在不改变笛卡尔树的同时调节节点权值使得 1..m 都出现,于是也可以对应 S2 中的一种笛卡尔树。

    由于 S1 中的任意两个笛卡尔树互不同构,所以 S1 与 S2 的元素一一对应,也就是说 |S1|=|S2| 。

    于是我们要求的就是 $f[m][n]$ 。

    设多项式 $f_i(x)$ 满足 $f_i(x)[j]=f[i][j]$ ,那么我们可以得到递推式:

    $$f_i(x) = x f_{i-1}(x)f_i(x) + 1\f_i(x) = frac{1}{1-xf_{i-1}(x)}$$

    这个式子很棘手。

    我们把他表示成 $frac{A_i(x)}{B_i(x)}$ 的形式,再推一推:

    $$frac{A_i(x)}{B_i(x)} = frac 1 {1-xfrac{A_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x)}}\=frac{B_{i-1}(x)}{B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x) }$$

    于是我们可以得到线性递推式:

    $$A_i(x) = B_{i-1}(x)$$

    $$B_i(x) = B_{i-1}(x) - xA_{i-1}(x)$$

    于是我们可以得到:

    $$egin{bmatrix}0 & 1\-x & 1 end{bmatrix}egin{pmatrix}A_{i-1}(x)\B_{i-1}(x)end{pmatrix}=egin{pmatrix}A_i(x)\B_i(x)end{pmatrix}$$

    其中 $A_0(x) = B_0(x) = 1$ 。

    直接暴力把多项式当做矩阵中的元素,复杂度 $O(nlog ^2 n)$ 。

    直接把单位根代入,直接得到 $A_m(x)$ 和 $B_m(x)$ 的点值,最后 DFT 回来。时间复杂度 $O(nlog n)$ 。

    还要写个多项式求逆。

    所以总时间复杂度 $O(nlog n )$ 。

    好像有个 $O(n)$ 的神仙做法。不会。告辞。

    代码

    #pragma GCC optimize("Ofast","inline")
    #include <bits/stdc++.h>
    #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
    #define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
    #define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define fi first
    #define se second
    #define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
    #define outval(x) printf(#x" = %d
    ",x)
    #define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
    #define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
    #define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);
    						For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    LL read(){
    	LL x=0,f=0;
    	char ch=getchar();
    	while (!isdigit(ch))
    		f|=ch=='-',ch=getchar();
    	while (isdigit(ch))
    		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    	return f?-x:x;
    }
    const int N=1<<20,mod=998244353;
    void Add(int &x,int y){
    	if ((x+=y)>=mod)
    		x-=mod;
    }
    void Del(int &x,int y){
    	if ((x-=y)<0)
    		x+=mod;
    }
    int Pow(int x,int y){
    	int ans=1;
    	for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
    		if (y&1)
    			ans=(LL)ans*x%mod;
    	return ans;
    }
    namespace poly{
    	int w[N],R[N];
    	int a[N],b[N];
    	void prework(int n,int d){
    		For(i,0,n-1)
    			R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
    		w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
    		For(i,2,n-1)
    			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
    	}
    	void FFT(int a[],int n){
    		For(i,0,n-1)
    			if (i<R[i])
    				swap(a[i],a[R[i]]);
    		for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
    			for (int i=0;i<n;i+=d<<1)
    				for (int j=0;j<d;j++){
    					int tmp=(LL)w[t*j]*a[i+j+d]%mod;
    					a[i+j+d]=(a[i+j]-tmp+mod)%mod;
    					Add(a[i+j],tmp);
    				}
    	}
    	vector <int> Mul(vector <int> A,vector <int> B){
    		static vector <int> ans;
    		ans.clear();
    		int n,d;
    		for (n=1,d=0;n<A.size()+B.size();n<<=1,d++);
    		prework(n,d);
    		For(i,0,n-1)
    			a[i]=b[i]=0;
    		For(i,0,(int)A.size()-1)
    			a[i]=A[i];
    		For(i,0,(int)B.size()-1)
    			b[i]=B[i];
    		FFT(a,n),FFT(b,n);
    		For(i,0,n-1)
    			a[i]=(LL)a[i]*b[i]%mod;
    		w[1]=Pow(w[1],mod-2);
    		For(i,2,n-1)
    			w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
    		FFT(a,n);
    		int inv=Pow(n,mod-2);
    		For(i,0,n-1)
    			ans.pb((LL)a[i]*inv%mod);
    		while (!ans.empty()&&!ans.back())
    			ans.pop_back();
    		return ans;
    	}
    	vector <int> Get_Inv(vector <int> a,int n){
    		static vector <int> A,B,tmp;
    		A.clear(),B.clear();
    		B.pb(Pow(a[0],mod-2));
    		for (int d=1;d<=n*2;d<<=1){
    			while (A.size()<=d)
    				if (a.size()>d)
    					A.pb(a[A.size()]);
    				else
    					A.pb(0);
    			tmp=Mul(A,Mul(B,B));
    			tmp.resize(d+1,0);
    			B.resize(d+1,0);
    			For(i,0,d)
    				B[i]=(2LL*B[i]-tmp[i]+mod)%mod;
    		}
    		B.resize(n+1,0);
    		return B;
    	}
    }
    using poly::FFT;
    using poly::Mul;
    using poly::Get_Inv;
    struct Mat{
    	int v[2][2];
    	Mat(){}
    	Mat(int x){
    		clr(v);
    		For(i,0,1)
    			v[i][i]=x;
    	}
    	Mat(int v00,int v01,int v10,int v11){
    		v[0][0]=v00,v[0][1]=v01;
    		v[1][0]=v10,v[1][1]=v11;
    	}
    	friend Mat operator * (Mat A,Mat B){
    		Mat ans(0);
    		For(i,0,1)
    			For(j,0,1)
    				For(k,0,1)
    					ans.v[i][j]=((LL)A.v[i][k]*B.v[k][j]+ans.v[i][j])%mod;
    		return ans;
    	}
    };
    Mat Pow(Mat x,int y){
    	Mat ans(1);
    	for (;y;y>>=1,x=x*x)
    		if (y&1)
    			ans=ans*x;
    	return ans;
    }
    int n,m;
    int k,d;
    int a[N],b[N];
    vector <int> A,B;
    int solve(int n,int m){
    	if (n<m)
    		return 0;
    	for (k=1,d=0;k<=n;k<<=1,d++);
    	poly::prework(k,d);
    	For(i,0,k-1){
    		Mat res=Pow(Mat(0,1,(mod-poly::w[i])%mod,1),m)*Mat(1,0,1,0);
    		a[i]=res.v[0][0],b[i]=res.v[1][0];
    	}
    	poly::w[1]=Pow(poly::w[1],mod-2);
    	For(i,2,k-1)
    		poly::w[i]=(LL)poly::w[i-1]*poly::w[1]%mod;
    	FFT(a,k),FFT(b,k);
    	A.clear(),B.clear();
    	For(i,0,n)
    		A.pb(a[i]),B.pb(b[i]);
    	A=Mul(A,Get_Inv(B,n));
    	A.resize(n+1,0);
    	return A[n];
    }
    int main(){
    	n=read(),m=read();
    	cout<<solve(n,m)<<endl;
    	return 0;
    }
    

      

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