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题意
给定 $n$ 条带权线段,第 $i$ 条线段的左右端点坐标分别 $x_i,y_i$ ,权值为 $w_i$ ,坐标范围是 $[1,m]$ 。
现在让你从这 $n$ 条线段中选择一些线段,要求这些线段能覆盖 $[1,m]$ 中的任何一个整点。
定义 $f(x)$ 为当前方案中覆盖到坐标 $x$ 的线段的权值和。
问:对于所有的选择线段的方案,$max(f(x)|xin [1,m])$ 的最小值为多少。
多组数据。
$n,mleq 2000,w_ileq 1000,sum nleq 20000$
题解
讲题人说要线段树??
直接 $O(nm)$ dp 啊。
首先我们证明两个结论:
1. 选出来的线段不存在包含关系。——如果这样的话删掉被包含的那条显然更好
2. 任何一个点最多被两个线段覆盖。——如果有三条覆盖同一个点,那么一定可以删除其中一条,并满足剩下的线段仍然覆盖所有点。
这两个性质十分优秀!于是我们就可以 dp 了。
我们先把所有的线段按照右端点从小到大排序。
记 $dp_{i,j}$ 表示最右端的一条线段为 $i$ ,上一个线段的结尾的坐标不大于 $j$ 时,$max(f(x)|xin [1,m])$ 的最小值 。
那么,我们对于每一个 $i$ 首先求出所有 上一个线段的结尾的坐标等于 $j$ 时 的 dp 值,然后搞一搞前缀 $min$ 即可。
时间复杂度 $O(nm)$ 。
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int read(){ int x=0; char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) ch=getchar(); while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48,ch=getchar(); return x; } const int N=2005; int n,m,dp[N][N]; struct Segment{ int L,R,w; }a[N]; bool cmp(Segment a,Segment b){ return a.R<b.R; } int main(){ for (int T=read();T;T--){ n=read(),m=read(); for (int i=1;i<=n;i++) a[i].L=read(),a[i].R=read(),a[i].w=read(); sort(a+1,a+n+1,cmp); for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<=m;j++) dp[i][j]=i==0?0:1e8; a[0].R=0; int ans=dp[1][1]; for (int i=1;i<=n;i++){ for (int j=0;j<i;j++){ if (a[j].R+1<a[i].L||a[i].R<=a[j].R) continue; int v=dp[j][a[i].L-1]; if (a[j].R>=a[i].L) v=max(v,a[i].w+a[j].w); else if (a[j].R+1==a[i].L) v=max(v,a[i].w); dp[i][a[j].R]=min(dp[i][a[j].R],v); } for (int j=1;j<=m;j++) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]); if (a[i].R==m) ans=min(ans,dp[i][m]); } printf("%d ",ans>=1e8?-1:ans); } return 0; }