原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Balanced-Binary-Tree.html
注意是简单教程，不是入门教程。
splay
1. 旋转：
假设点 y 原是点 x 的 father，旋转操作可以在不改变中序遍历的基础上，将 y 变成 x 的儿子。例如：
旋转后：
代码：
int wson(int x){
return son[fa[x]][1]==x;
}
void pushup(int x){
tot[x]=cnt[x]+tot[son[x][0]]+tot[son[x][1]];
}
void rotate(int x){
if (!x)
return;
int y=fa[x],z=fa[y],L=wson(x),R=L^1;
if (z)
son[z][wson(y)]=x;
fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y;
son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y;
pushup(y),pushup(x);
}
2. splay
可以将一个点旋转到他的一个祖先下面，或者旋转到根的位置。
具体操作：
设当前旋转的点是 x ，y = fa[x] , z = fa[y] 。设 wson(x) 表示节点 x 是他的父亲的左儿子还是右儿子。
如果 wson(x) = wson(y) ，那么先旋 y，再旋 x；
如果 wson(x) $ eq$ wson(y) ,那么先选 x，再旋 x。
单次复杂度均摊 $O(log n)$ 。
如果每次都旋转 x 的话是可以被卡掉的。
关于 splay 时间复杂度的证明：
https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/JunTanFenXi.html
反正可以用就行了。注意用法是每找一个点都要 splay ，不管是插入节点还是查找特定值在平衡树中的位置。
代码：
void splay(int x,int k){
if (!x)
return;
if (!k)
root=x;
for (int y=fa[x];fa[x]!=k;rotate(x),y=fa[x])
if (fa[y]!=k)
rotate(wson(x)==wson(y)?y:x);
}
3.插入
假设插入的值是 v。找到比 v 小的最大点，把它splay到根，找到它的右子树的最小值的位置，把新节点插到这个节点的左子节点位置即可。
4.删除
找到节点，splay到根，找到它的右子树的最左点，splay到根下面，这样就保证了根的右儿子没有左儿子，直接把根ban掉，把根左儿子变成右儿子的左儿子就好了。
5.其他
诸如查排名、查第k大、查前驱后继等比较简单，这里省略了。
关于区间修改：
可以支持翻转、区间覆盖、区间乘等等操作。
具体一些的方法是：打懒标记，每次splay之前先往上走一遍预先下传好标记，再splay。
6.模板 (BZOJ3224)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,root=1,size=1,val[N],cnt[N],son[N][2],fa[N],tot[N];
int wson(int x){
return son[fa[x]][1]==x;
}
void pushup(int x){
tot[x]=cnt[x]+tot[son[x][0]]+tot[son[x][1]];
}
void rotate(int x){
if (!x)
return;
int y=fa[x],z=fa[y],L=wson(x),R=L^1;
if (z)
son[z][wson(y)]=x;
fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y;
son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y;
pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x,int k){
if (!x)
return;
if (!k)
root=x;
for (int y=fa[x];fa[x]!=k;rotate(x),y=fa[x])
if (fa[y]!=k)
rotate(wson(x)==wson(y)?y:x);
}
int find(int x,int v){
return val[x]==v?x:find(son[x][v>val[x]],v);
}
int findkth(int x,int k){
if (k<=tot[son[x][0]])
return findkth(son[x][0],k);
k-=tot[son[x][0]];
if (k<=cnt[x])
return x;
k-=cnt[x];
return findkth(son[x][1],k);
}
int findnxt(int x,int v){
if (!x)
return 0;
if (val[x]<=v)
return findnxt(son[x][1],v);
else {
int res=findnxt(son[x][0],v);
return res?res:x;
}
}
int findpre(int x,int v){
if (!x)
return 0;
if (val[x]>=v)
return findpre(son[x][0],v);
else {
int res=findpre(son[x][1],v);
return res?res:x;
}
}
void insert(int &x,int pre,int v){
if (!x){
x=++size;
val[x]=v,cnt[x]=tot[x]=1,fa[x]=pre;
splay(x,0);
return;
}
tot[x]++;
if (val[x]==v){
cnt[x]++;
return;
}
insert(son[x][v>val[x]],x,v);
}
void Insert(int v){insert(root,0,v);}
void Delete(int v){
int x;
splay(x=find(root,v),0);
if (--cnt[x])
return;
splay(findnxt(root,v),root);
root=son[x][1];
son[root][0]=son[x][0];
fa[son[x][0]]=root;
fa[root]=son[x][0]=son[x][1]=0;
pushup(root);
}
int Rank(int v){
splay(find(root,v),0);
return tot[son[root][0]]+1;
}
int main(){
val[1]=2147483647;
cnt[1]=tot[1]=1;
scanf("%d",&n);
while (n--){
int opt,x;
scanf("%d%d",&opt,&x);
if (opt==1) Insert(x);
if (opt==2) Delete(x);
if (opt==3) printf("%d
",Rank(x));
if (opt==4) printf("%d
",val[findkth(root,x)]);
if (opt==5) printf("%d
",val[findpre(root,x)]);
if (opt==6) printf("%d
",val[findnxt(root,x)]);
}
return 0;
}
替罪羊树
1.思想
如果数据是随机的，那么直接暴力插入节点就AC了。
但是直接卡成一条链就TLE了。
那么我们来想想办法。
定期重构？
可以得到 $O(nsqrt n)$ 的优秀复杂度。
这个东西不够智能，我们来给他升升级！
替罪羊树：当一棵子树的左右儿子不平衡到一定程度的时候，我们将整个子树暴力重构。
具体地，我们要设定一个参数 c ，当一个节点的其中左子树或者右子树占当前子树的比重超过c的时候，就将这个子树暴力重构。
注意，暴力重构的时候要从上往下，这样只重构最大的需要被重构的子树，常数较小。
c 的取值一般在 $0.5$~$1$ 之间，不能取 1 （取1的时候就是暴力），也不要取 $0.5$ （重构次数太多导致TLE），取 $0.65$~$0.85$ 差不多就好了。
关于时间复杂度：
首先，树高显然是 $O(log n)$ 的，所以查询的复杂度是对的。
我们来看看重构的复杂度是什么。
定义势函数 $phi(T) = sum_{x} {abs(size[ls]-size[rs])}$ （假设 ls 是 x 的左儿子，rs 是 x 的右儿子），那么，由于树高是 $O(log n)$ 的，所以显然插入一个节点最多使 $phi(T)$ 增加 $O(log n)$ 。
每次暴力重构点 x 的时候，消耗了 $O(size[x])$ 的时间复杂度，使 $phi(T)$ 至少减少了 $O(size[x]) imes (c-(1-c)) = O(size[x]cdot (2c-1))$ ，所以重构的时间复杂度是均摊 $O(log n)$ 的。
2.一道模板题
UOJ#55 紫荆花之恋
替罪羊树思想不一定只能放在平衡树上，还可以放在点分树上。
不过这题还要套个平衡树，可以用splay + 卡常数，或者 Treap 。
代码
#pragma GCC optimize("Ofast","inline") #include <bits/stdc++.h> #define clr(x) memset(x,0,sizeof (x)) #define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++) #define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--) #define pb push_back #define mp make_pair #define fi first #define se second #define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I') #define outval(x) printf(#x" = %d ",x) #define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("") #define outtag(x) puts("----------"#x"----------") using namespace std; typedef long long LL; LL read(){ LL x=0,f=0; char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=getchar(); while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return f?-x:x; } const int N=100005,INF=1.05e9,mod=1e9; const double checkval=0.80; namespace spl{ const int S=N*100; int son[S][2],fa[S],val[S],size[S]; int cnt=0; namespace cly{ int st[S],top=0; inline int new_node(){ return top?st[top--]:++cnt; } inline void Recover(int x){ st[++top]=x; son[x][0]=son[x][1]=fa[x]=val[x]=size[x]=0; } } using cly::new_node; using cly::Recover; #define ls son[x][0] #define rs son[x][1] int new_node(int v){ int x=new_node(); val[x]=v; return x; } inline void pushup(int x){ size[x]=size[ls]+size[rs]+1; } inline int wson(int x){ return son[fa[x]][1]==x; } void rotate(int x){ int y=fa[x],z=fa[y],L=son[y][1]==x,R=L^1; if (z) son[z][son[z][1]==y]=x; fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y; son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y; pushup(y),pushup(x); } void splay(int x){ for (int y=fa[x];fa[x];rotate(x),y=fa[x]) if (fa[y]) rotate(wson(x)==wson(y)?y:x); } inline void Ins(int &a,int v){ register int x=a,c=0; int f=0; while (x){ c++; size[x]++; f=x; x=v<val[x]?ls:rs; } val[son[f][v>=val[f]]=x=new_node()]=v,fa[x]=f,size[x]=1; if (!a||c>30) splay(a=x); } int Query(int &rt,int v){ int ans=0,c=0; register int x=rt,p=0; while (x){ p=x,c++; if (val[x]<=v) ans+=size[ls]+1,x=rs; else x=ls; } if (p&&c>30) splay(rt=p); return ans; } void Remove(int x){ if (x) Remove(ls),Remove(rs),Recover(x); } int id[N]; void Build(int &x,int L,int R,int f){ if (L>R) return; int mid=(L+R)>>1; fa[x=id[mid]]=f; Build(ls,L,mid-1,x); Build(rs,mid+1,R,x); pushup(x); } void Build(int &x,vector <int> &v){ if (v.empty()) return; int n=0; sort(v.begin(),v.end()); for (auto i : v) id[++n]=new_node(i); Build(x,1,n,0); } #undef ls #undef rs } int Test,n; LL ans=0; vector <int> e[N]; int fa[N][20],depth[N],len[N]; int LCA(int x,int y){ if (depth[x]<depth[y]) swap(x,y); Fod(i,16,0) if (depth[x]-(1<<i)>=depth[y]) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; Fod(i,16,0) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } int Dis(int x,int y){ return len[x]+len[y]-2*len[LCA(x,y)]; } int r[N]; namespace dt{ int fa[N],size[N],mxs[N],depth[N]; int rt[N],rtf[N]; int node_cnt=0; void Init(){ clr(fa),clr(size),clr(mxs),clr(depth),clr(rt),clr(rtf); depth[0]=-1,node_cnt++; size[1]=1,mxs[1]=depth[1]=rt[1]=0; spl::Ins(rt[1],0-r[1]); } int id[N],idc=0; void dfs(int x,int pre,int d){ id[++idc]=x; for (auto y : e[x]) if (y!=pre&&depth[y]>=d) dfs(y,x,d); } int sz[N],msz[N],RT,Size; void dfs2(int x,int pre){ sz[x]=1,msz[x]=0; for (auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]){ dfs2(y,x); sz[x]+=sz[y]; msz[x]=max(msz[x],sz[y]); } msz[x]=max(msz[x],Size-sz[x]); if (!RT||msz[x]<msz[RT]) RT=x; } vector <int> id1,id2; void dfs3(int x,int pre,int anc){ sz[x]=1; id1.pb(Dis(x,anc)-r[x]); if (fa[anc]) id2.pb(Dis(x,fa[anc])-r[x]); for (auto y : e[x]) if (y!=pre&&!size[y]) dfs3(y,x,anc),sz[x]+=sz[y]; } void build(int x,int f,int n){ RT=0,Size=n; dfs2(x,0); x=RT; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1,size[x]=n,mxs[x]=msz[x]; id1.clear(),id2.clear(); dfs3(x,0,x); spl::Build(rt[x],id1); spl::Build(rtf[x],id2); for (auto y : e[x]) if (!size[y]) build(y,x,sz[y]); } void Rebuild(int x,int f){ idc=0; dfs(x,0,depth[x]); For(_t,1,idc){ int i=id[_t]; spl::Remove(rt[i]),spl::Remove(rtf[i]); depth[i]=size[i]=fa[i]=mxs[i]=rt[i]=rtf[i]=0; } build(x,f,idc); } void Ins(int x,int f){ static vector <int> v; fa[x]=f,depth[x]=depth[f]+1; rt[x]=rtf[x]=0; v.clear(); for (int i=x;i;i=fa[i]){ v.pb(i),size[i]++; mxs[fa[i]]=max(mxs[fa[i]],size[i]); spl::Ins(rt[i],Dis(i,x)-r[x]); if (fa[i]) spl::Ins(rtf[i],Dis(fa[i],x)-r[x]); } node_cnt++; reverse(v.begin(),v.end()); for (auto i : v) if (mxs[i]>checkval*size[i]){ Rebuild(i,fa[i]); break; } if (size[x]>1) ans+=spl::Query(rt[x],r[x])-1; for (int i=x,f,d;depth[i];i=f){ f=fa[i],d=Dis(f,x); ans+=spl::Query(rt[f],r[x]-d)-spl::Query(rtf[i],r[x]-d); } } } int main(){ Test=read(),n=read(); For(i,1,n){ int f=read()^(ans%mod),c=read(); r[i]=read(); if (!f){ dt::Init(); printf("%lld ",ans); continue; } assert(1<=f&&f<i); e[i].pb(f),e[f].pb(i); fa[i][0]=f; For(j,1,16) fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]; depth[i]=depth[f]+1; len[i]=len[f]+c; dt::Ins(i,f); printf("%lld ",ans); } return 0; }
非旋Treap
1. Treap 简介
Treap = Tree + Heap 。
我们考虑给每一个节点随机赋一个值 ckv ，假设这个节点本来的值是 val，那么，我们建一个平衡树，满足对于 val，它是个二叉搜索树，对于 ckv 它满足堆性质，就是满足 $val[ls]leq val[x]leq val[rs], ckv[x]leq ckv[ls], ckv[x] leq ckv[rs]$。
可以证明这样的树是唯一的。
由于它的随机的，所以树高是 $O(log n)$ 的。
我们来看看插入节点的时候怎么维护它的性质：旋转！首先插入到一个满足二叉搜索树性质的位置，然后，如果 ckv[x] < ckv[fa[x]] ，那么将 x 上旋，直到满足这个条件为止。
这个需要旋转的 Treap 有一定的局限性，接下来介绍功能更加强大的非旋 Treap 。
2. Merge
合并 Treap x 和 Treap y，需要保证 x 中的任意元素小于 y 中的任意元素。
假设 x 为空，则返回 y 。
假设 y 为空，则返回 x 。
假设 ckv[x] < ckv[y] ，则将点 x 作为根， rs[x] = Merge(rs[x], y)
否则，将点 y 作为根， ls[y] = Merge(x, ls[y]) （注意这里 x 要放在前面）
时间复杂度 $O(log n)$ 。
代码：
int Merge(int x,int y){
if (!x||!y)
return x+y;
if (ckv[x]<ckv[y]){
son[x][1]=Merge(son[x][1],y),pushup(x);
return x;
}
else {
son[y][0]=Merge(x,son[y][0]),pushup(y);
return y;
}
}
3. Split
这个函数的作用就是将一个平衡树前 k 小节点构成的平衡树和剩余节点构成的平衡树。时间复杂度 $O(log n)$ 。
直接看代码很容易理解的。
代码：
pair <int,int> Split(int x,int k){
if (!x)
return mp(0,0);
if (k<=size[ls]){
pair <int,int> p=Split(ls,k);
ls=p.se,pushup(x);
return mp(p.fi,x);
}
else {
pair <int,int> p=Split(rs,k-size[ls]-1);
rs=p.fi,pushup(x);
return mp(x,p.se);
}
}
4. 其他操作
Rank ： 直接写。
Find-Kth = Split + Merge
Insert = Rank + Split + Merge + Merge
Delete = Split + Split + Merge
区间修改：由于每次操作都是自顶向下的，所以可以进行标记下传，所以支持区间修改。
可持久化：由于每次操作都是自顶向下的，而且只改变节点的儿子，所以是可以可持久化的。这一点其他平衡树都做不了。
5. 模板(BZOJ3224)
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d
",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
LL x=0,f=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
f|=ch=='-',ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
const int N=100005;
int randint(){
#ifdef windows
return (rand()<<15)^rand();
#else
return rand();
#endif
}
namespace Treap{
const int S=N;
int son[N][2],size[N],val[N],ckv[N];
int cnt=0;
#define ls son[x][0]
#define rs son[x][1]
int new_node(int v){
cnt++,val[cnt]=v,ckv[cnt]=randint(),size[cnt]=1;
return cnt;
}
void pushup(int x){
size[x]=size[ls]+size[rs]+1;
}
int Merge(int x,int y){
if (!x||!y)
return x+y;
if (ckv[x]<ckv[y]){
son[x][1]=Merge(son[x][1],y),pushup(x);
return x;
}
else {
son[y][0]=Merge(x,son[y][0]),pushup(y);
return y;
}
}
pair <int,int> Split(int x,int k){
if (!x)
return mp(0,0);
if (k<=size[ls]){
pair <int,int> p=Split(ls,k);
ls=p.se,pushup(x);
return mp(p.fi,x);
}
else {
pair <int,int> p=Split(rs,k-size[ls]-1);
rs=p.fi,pushup(x);
return mp(x,p.se);
}
}
int Find(int x,int v){
return x?(val[x]==v?x:Find(son[x][val[x]<v],v)):0;
}
int _Rank(int x,int v){
return x?(val[x]>v?_Rank(ls,v):size[ls]+1+_Rank(rs,v)):0;
}
int Rank(int x,int v){
return _Rank(x,v-1);
}
void Insert(int &x,int v){
pair <int,int> p=Split(x,_Rank(x,v));
x=Merge(p.fi,Merge(new_node(v),p.se));
}
void Delete(int &x,int v){
int rk=Rank(x,v);
pair <int,int> pL=Split(x,rk),pR=Split(pL.se,1);
x=Merge(pL.fi,pR.se);
}
int QRank(int x,int v){
return Rank(x,v)+1;
}
int Find_Kth(int x,int k){
return k==size[ls]+1?x:(k<=size[ls]?Find_Kth(ls,k):Find_Kth(rs,k-size[ls]-1));
}
int Get_pre(int &x,int v){
return Find_Kth(x,Rank(x,v));
}
int Get_nxt(int &x,int v){
return Find_Kth(x,_Rank(x,v)+1);
}
#undef ls
#undef rs
}
using namespace Treap;
int n,root=0;
int main(){
srand(_SEED_);
n=read();
while (n--){
int opt=read(),x=read();
if (opt==1)
Insert(root,x);
else if (opt==2)
Delete(root,x);
else if (opt==3)
printf("%d
",QRank(root,x));
else if (opt==4)
printf("%d
",val[Find_Kth(root,x)]);
else if (opt==5)
printf("%d
",val[Get_pre(root,x)]);
else if (opt==6)
printf("%d
",val[Get_nxt(root,x)]);
}
return 0;
}