51Nod1634 刚体图 动态规划 容斥原理 排列组合

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题意

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 640 难度：8级算法题

计算机科学中，图可以看做是点集和边集所组成的二元组。

通过给每个点设置一个平面坐标，图可以镶嵌在欧几里得平面中。

 

 

一个图被认为是刚体，如果该图无法只改变其中一部分的形状，而使得余下的部分的形状保持不变。

例如上图中的 (a) (b) (c) 都是刚体。

 

为了简化问题，我们现在只考虑  n × m 的格点图。

上图不是刚体，但是可以通过在对角线加入支撑的方式使得其变为刚体。

我们的问题是，对于 m × n 的个点图，有多少种添加支撑的方案可以使其变为刚体？

注意本题在每个小矩形中，我们至多只允许添加一个方向的对角线。
例如，对于 2 × 3 的格点图，一共有 448 种方案。

题解

　　考虑到加一条斜着的边的作用是让一个格子的行和列垂直。

　　我们需要让所有的行和列都互相垂直。于是，只要我们建一个二分图，行和列分居两侧，问题就被转化成了统计连通的二分图个数，其中，一条边有两种连接的方式。

　　令 $dp_{i,j}$ 表示左边有 $i$ 个，右边有 $j$ 个节点 的连通二分图个数，于是我们需要补集转化一下，得到：

$$dp_{n,m}=3^{nm}-sum_{i=1}^{n}sum_{j=0}^{m}[i eq n { m OR} j eq m] inom{n-1}{i-1}inom{m}{j}cdot 3^{(n-i)(m-j)}dp_{i,j}$$

　　这里略微的解释一下意义。我们枚举第一个节点所在的连通块的左右部分点的个数，然后剩余的边可以随意连，所以有一个 $3^{(n-i)(m-j)}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15,mod=1e9+7;
int C[N][N],Pow3[N*N],dp[N][N];
int main(){
	for (int i=0;i<N;i++)
		C[i][0]=C[i][i]=1;
	for (int i=1;i<N;i++)
		for (int j=1;j<i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	Pow3[0]=1;
	for (int i=1;i<N*N;i++)
		Pow3[i]=3LL*Pow3[i-1]%mod;
	memset(dp,0,sizeof dp);
	dp[0][1]=dp[1][0]=1;
	for (int n=1;n<N;n++)
		for (int m=1;m<N;m++){
			dp[n][m]=Pow3[n*m];
			for (int i=1;i<=n;i++)
				for (int j=0;j<=m;j++)
					if (i!=n||j!=m)
						dp[n][m]=(-1LL*C[n-1][i-1]*C[m][j]%mod
								*Pow3[(n-i)*(m-j)]%mod*dp[i][j]%mod
									+dp[n][m])%mod;
			dp[n][m]=(dp[n][m]+mod)%mod;
		}
	int n,m;
	while (~scanf("%d%d",&n,&m))
		printf("%d
",dp[n][m]);
	return 0;
}