题意
线性递推式(X_{i+1}=aX_i+bmod p)。
给你(p,a,b,X_1,t)，要你求最小的(i)满足(X_i=t)或判断无解。
sol
推一下通项公式吧。
[X_i=aX_{i-1}+b=a(aX_{i-2}+b)+b=...\=a^{i-1}X_1+b+ab+a^2b+...+a^{i-2}b\=a^{i-1}X_1+frac{b(a^{i-1}-1)}{a-1}
]
设(X_n=t)，则有(a^{n-1}X_1+frac{b(a^{n-1}-1)}{a-1}=t)。发现这个式子里只有(a^{n-1})是未知量。直接解出来。
然后就是已知(a,a^{n-1},p)求(n)。(BSGS)直接上。
要讨论一些特殊情况。
1、(X_1=t)时直接返回(1)。
2、(a=0)时，若(b=t)则返回(2)，否则返回(-1)。
3、(a=1)时，若(b=0)则返回(-1)，否则有式子$$X_1+nbequiv tmod p$$
直接解即可。
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
int fastpow(int a,int b,int mod)
{
int res=1;
while (b) {if (b&1) res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
return res;
}
map<int,int>M;
int BSGS(int y,int z,int p)
{
if (y%p==0) return -2;
int m=sqrt(p)+1;M.clear();
for (int i=0,t=z;i<=m;++i,t=1ll*t*y%p) M[t]=i;
for (int i=1,tt=fastpow(y,m,p),t=tt;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
if (M.count(t)) return i*m-M[t];
return -2;
}
int yyb_solve(int p,int a,int b,int X1,int t)
{
if (X1==t) return 1;
if (a==0) {if (b==t) return 2;return -1;}
if (a==1) {if (b==0) return -1;return 1ll*fastpow(b,p-2,p)*(t-X1+p)%p+1;}
int c=1ll*b*fastpow(a-1,p-2,p)%p;
int an=1ll*(t+c)*fastpow(X1+c,p-2,p)%p;
return BSGS(a,an,p)+1;
}
int main()
{
int Case=gi();
while (Case--)
{
int p=gi(),a=gi(),b=gi(),X1=gi(),t=gi();
printf("%d
",yyb_solve(p,a,b,X1,t));
}
return 0;
}