概要
笔试中经常出现关于图的考题，有必要熟悉下。本篇参考《大话数据结构》，简单介绍一下图，不作深入探究。
定义
图的简单定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：(G(V,E))，其中 (G) 表示一个图，(V) 是图 (G) 中点的集合，(E) 是图 (G) 中边的集合。
对于图的定义，我们需要几个注意的地方。
- 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素称为顶点。
- 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。但是在图结构中，不允许没有顶点。在定义中强调了点的集合 (V) 有穷非空。
- 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，在树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都有可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的
无向边：若顶点 (v_i) 到 (v_j) 之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对 ((v_i, v_j)) 来表示。
无向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。下图左就是无向图，由于是无方向的，连接顶点 (A) 与 (D) 的边，可表示成无序对 ((A,D))，也可以写成 ((D,A)).
上图左的无向图 (G_1) 可表示成 (G_1=(V_1, {E_1}))，其中顶点集合 (V_1={A,B,C,D})，边集合 (E_1={ (A,B),(B,C), (C,D),(D,A),(A,C) }).
有向边：若顶点 (v_i) 到 (v_j) 之间的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧。用有序偶对 (langle v_i,v_j angle) 来表示。(v_i) 称为弧尾，(v_j) 称为弧头。
有向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。上图右就是有向图，连接顶点 (A) 与 (D) 的有向边就是弧，(A) 是弧尾，(D) 是弧头，(langle A,D angle) 表示弧，注意不能写成 (langle D,A angle).
上图右的有向图 (G_2) 可表示成 (G_2=(V_2, {E_2}))，其中顶点集合 (V_2={A,B,C,D})，弧集合 (E_2={ langle A,D angle, langle B,A angle, langle C,A angle,langle B,C angle }).注意无向边用圆括号 “(())” 表示，而有向边则是用尖括号“(langle angle)” 表示。
在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。如下边两个图都不是简单图。
在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有 (n) 个顶点的无向完全图有 (dfrac{n(n-1)}{2}) 条边。
在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图，含有 (n) 个顶点的有向完全图有 (n(n-1)) 条边。
有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。如下图就是一张带有权的图，即标识中国四大城市的直线距离的网，此图中的权就是两地的距离。
假设有两个图 (G=(V,{E})) 和 (G‘=(V’,{E‘}))，如果 (V' subseteq V) 且 (E' subseteq E)，则称 (G') 为 (G) 的子图。
图的顶点与边间关系
对于无向图 (G=(V,{E}))，如果边 ((v,v') in E)，则称顶点 (v) 和 (v') 互为邻接点，即 (v) 和 (v') 相邻接，边 ((v,v')) 依附于顶点 (v) 和 (v')，或者说 ((v,v')) 与顶点 (v) 和 (v') 相关联。顶点 (v) 的度是和 (v) 相关联的边的数目，记为 (TD(v)).
对于有向图 (G=(V,{E}))，如果弧 (langle v,v' angle in E)，则称顶点 (v) 邻接到顶点 (v')，顶点 (v’) 邻接自 (v)，弧 (langle v,v' angle) 和顶点 (v) 和 (v') 相关联。以顶点 (v) 为头的弧的数目称为 (v) 的入度，记为 (ID(v))；以 (v) 为尾的弧的数目称为 (v) 的出度，记为 (OD(v))；顶点 (v) 的度为 (TD(v)=ID(v)+OD(v)).
无向图 (G=(V,{E})) 中从顶点 (v) 到顶点 (v') 的路径是一个顶点序列 ((v=v_{i,0}, v_{i,1}, cdots, v_{i,m}=v'))，其中 ((v_{i,j-1}, v_{i,j}) in E,1 leqslant j leqslant m). 如果 (G) 是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应满足 (langle v_{i,j-1}, v_{i,j} angle in E, 1leqslant j leqslant m).
路径的长度是路径上的边或弧的数目。
第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
连通图相关术语
在无向图 (G) 中，如果从顶点 (v) 到顶点 (v') 有路径，则称 (v) 和 (v') 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 (v_i,v_j in E)，(v_i) 和 (v_j) 都是连通的，则称 (G) 是连通图。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调
- 要是子图
- 子图要是连通的
- 连通子图含有极大顶点数
- 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边
在有向图 (G) 中，如果对于每一对 (v_i,v_j in V)，(v_i eq v_j)，从 (v_i) 到 (v_j) 和从 (v_j) 到 (v_i) 都存在路径，则称 (G) 是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。
无向图中连通且 (n) 个顶点 (n-1) 条边叫生成树。有向图中一顶点入度为 (0) 其余顶点入度为 (1) 的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。
图的遍历
图的遍历是和树和遍历类似，我们希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。
深度优先遍历
深度优先遍历（Depth_First_Search），也有称为深度优先搜索，简称为 DFS。
比如下图左：
首先我们从顶点 (A) 开始，做上走过的记号后，面前有两条路，通向 (B) 和 (F)，我们给自己定一个原则，在没有碰到重复顶点的情况下，始终是向右手边走，于是走到了 (B) 顶点。整个行路过程，可参看上图的右图。如果此时的顶点的相邻顶点都做了记号表示走过，那就向后退回再做判断，直到遍历所有点。
深度优先遍历其实就是一个递归的过程。它从图中某个顶点 (v) 出发，访问此顶点，然后从 (v) 的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和 (v) 有路径相通的顶点都被访问到。
广度优先遍历
广度优先遍历（Breadth_First_Search）又称为广度优先搜索，简称 BFS。
如果说图的深度优先遍历类似树的前序遍历，那么图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。如下图
我们将上图左稍微变形，变形原则是顶点 (A) 放置在最上第一层，让与它有边的顶点 (B,F) 这第二层，再让与 (B) 和 (F) 有边的顶点 (C,I,G,H) 为第三层，再将这四个顶点有边的 (D,H) 放在第四层，如上图右所示。此时视觉上感觉图的形状发生了变化，其实顶点和边的关系还是完全相同的。
对比图的深度优先遍历与广度优先遍历，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不同。
最小生成树
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的 (n-1) 条边。我们把构造连通网（当然带权值）的最小代价生成树称为最小生成树。找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。
Prim 算法
为了能讲明白这个算法，我们先构造图的邻接矩阵，如下图：
现在我们有了一个存储结构为 MGraph 的 (G). (G) 有 (9) 个顶点，它的 arc 二维数组如上图右。
假设 (N=(P,{TE})) 是连通网，(TE) 是 (N) 上最小生成树中边的集合。算法从 (U={u_0})（(u_0 in V)），(TE= {}) 开始。重复执行下述操作：在所有 (u in U, v in V-U) 的边 ((u,v) in E) 中找一条代价最小的边 ((u_0,v_0)) 并入集合 (TE)，同时 (v_0) 并入 (U)，直到 (U=V) 为止。此时 (TE) 中必有 (n-1) 条边，则 (T=(V,{TE})) 为 (N) 的最小生成树。 其算法时间复杂度为 (O(n^2)).
Kruskal 算法
Prim 算法经某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的，而 Kruskal 算法把焦点转身图的边，直接找最小权值的边来构建生成树，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。
假设 (N=(P,{E})) 是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有 (n) 个顶点而无边的非连通图 (T=(V,{}))，图中每个顶点自成一个连通分量。然后在 (E) 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在 (T) 中不同的连通分量上（防止形成环），则将此边加入到 (T) 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依此类推，直至 (T) 中所有顶点都在同一连通分量上为止。此算法的时间复杂度和边数 (e) 有关，算法时间复杂度为 (O(elog e)).
Prim 算法和 Kruskal 算法对比
KrusKal 算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势。而 Prim 算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。
最短路径
网图的最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。
常见的有两种算法：迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法。
Dijkstra 算法
这是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。它的思路大体是这样的：
比如说要找下图中顶点 (v_0) 到点 (v_1) 的最短距离，显然就是 (1)，路径就是直接 (v_0) 到 (v_1).
由于顶点 (v_1) 还与 (v_2,v_3,v_4) 连线，所以此时我们同时求得了 (v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_2=1+3=4)，(v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_3=1+7=8)，(v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_4=1+5=6).
现在求 (v_0) 到 (v_2) 的最短距离，因为 (v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_2=4) 小于 (v_0 ightarrow v_3=5)，所以 (v_0) 到 (v_2) 的最短距离为 (4). 由于顶点 (v_2) 还与 (v_4,v_5) 连线，所以此时我们同时求得了 (v_0 ightarrow v_2 ightarrow v_4 = 4+1=5)， (v_0 ightarrow v_2 ightarrow v_5=4+7=11). 此时可以判断，由于 (v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_2 ightarrow v_4=5) 要比 (v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_4) 还要小。所以 (v_0) 到 (v_4) 目前的最小距离是 (5).
过程中基于已经求出的最短路径的基础上，继续向前一步步推，就可以求出 (v_0) 到 (v_8) 的最短路径了。其时间复杂度为 (O(n^2)).
Floyd 算法
为了能讲明白 Floyd 算法的精妙所在，我们先看一个例子。如下图所示。
我们先定义两个二维数组 (D[9,9]) 和 (P[9,9])，(D) 代表顶点到顶点的最短路径权值的矩阵。(P) 代表对应顶点的最小路径的前驱矩阵。在未分析任何顶点之前，我们将 (D) 命名为 (D^{-1})，其实它就是初始的图的邻接矩阵。将 (P) 命名为 (P^{-1})，初始化为图中所示的矩阵。
首先我们来分析，所有的顶点经过 (v_0) 后到达另一顶点的最短路径，显然 (v_0) 到其它点的路径是不会有变化的，和初始化一样。接下来求经过 (v_1) 时，原本 (D[0][2]=5)，现在由于 (D[0][1]+D[1][2]=4). 取较小值，所以 (D[0][2]=4)，同理可得 (D[0][3]=8)，(D[0][4]=6)，然后再依次分析经过顶点 (v_2, v_3, cdots) 等。由于这些最小权值的修正，所以在路径矩阵 (P) 上，也要做处理，将它们改为当前的 (P[v][k]) 值。最终结果如下：
得到上述矩阵后，求最短路径也很容易。比如求 (v_0) 到 (v_8) 的最短路径，由于 (P[0][8]=1)，得到要经过顶点 (v_1)，然后将 (1) 取代 (0) 得到 (P[1][8]=2)，说明要经过 (v_2)，又 (P[2][8]=4)，说明要经过 (v_4)，然后 (P[4][8]=3)，说明要经过 (v_3) (cdots)， 这样就得到了最短路径值为 (v_0 ightarrow v_1 ightarrow v_2 ightarrow v_4 ightarrow v_3 ightarrow v_6 ightarrow v_7 ightarrow v_8).
该算法的时间复杂度为 (O(n^3)). 如果需要求所有顶点至所有顶点的最短路径问题时， Floyd 算法应该是不错的选择。