概要
在一些面试的智力题中会遇到此数的变形，如果完全不了解，直接想结果是很困难的，故在此简单介绍一下。
基本定义
Catalan 数的定义根据不同的应用环境有很多不同的定义方式，下面给出一个。
Catalan 数：一个凸 (n) 边形，通过不相交于 (n) 边形内部的对角线，把 (n) 边形拆分成若干三角形，不同拆分的数目用 (f(n)) 表示，即称为 Catalan 数.
例如下五边形： 有 (f(5) = 5).
它有以下的递推关系：
egin{align} label{e1}
f(n+1) &= f(2)f(n)+f(3)f(n-1)+cdots+f(n)f(2) = sum_{k=2}^nf(k)f(n-k+2),qquad f(2) = f(3) = 1 \ label{e2}
(n-3)f(n)&= frac{n}{2}(f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+cdots+f(n-2)f(4)+f(n-1)f(3))
end{align}
证明：(a) 如下图：
以 (v_1v_{n+1}) 作为一个边的三角形 (v_1v_kv_{n+1})，将凸 (n+1) 边形分割成两部分，一部分是 (k) 边形，一部分是 (n-k+2) 边形，(k=2,3,cdots,n). 依据加法法则有 (f(n+1) = sum_{k=2}^nf(k)f(n-k+2)).
(b) 如下图：
从 (v_1) 点向其它 (n-3) 个顶点 ({v_3,v_4,cdots,v_{n-1}}) 可引出 (n-3) 条对角线。对角线 (v_1v_k) 把 (n) 边形分割成两个部分，因此以 (v_1v_k) 对角线作为拆分线的方案数为 (f(k)f(n-k+2))，(v_k) 可以是 ({v_3,v_4,cdots,v_{n-1}}) 中任一点，对所有这些点求和得：(f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+cdots+f(n-2)f(4)+f(n-1)f(3)). 以 (v_2,v_3,cdots,v_n) 取代 (v_1) 点也有类似的结果。但考虑到对角线有两个顶点，同一对角线在两个顶点分别计算了一次，下式
egin{align}
frac{n}{2}(f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+cdots+f(n-2)f(4)+f(n-1)f(3))
end{align}
没有给出剖分数，无疑其中有重复的。其重复度是由于一个凸边形的部分有 (n-3) 条对角线，而对其每一条边计数时该剖分都计数了一次，故重复了 (n-3) 次，即该式给出的结果是 (f(n)) 的 (n-3) 倍，证毕。
我们有了递推关系，下面说一下其计算公式。由式
ef{e1} 及 (f(2)=1) 知：
egin{align}
f(n+1)-2f(n) = f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+cdots+f(n-2)f(4)+f(n-1)f(3)
end{align}
结合式
ef{e2} 知
egin{align}
(n-3)f(n) = frac{n}{2}(f(3)f(n-1)+f(4)f(n-2)+cdots+f(n-2)f(4)+f(n-1)f(3)) = frac{n}{2} (f(n+1)-2f(n) )
end{align}
整理得：
egin{align}
nf(n+1) = (4n-6)f(n)
end{align}
令 (g(n+1) = nf(n+1)) 得
egin{align}
g(n+1) = (4n-6) frac{g(n)}{n-1} = frac{(2n-2)(2n-3)}{(n-1)(n-1)}g(n), quad g(2) = f(2) = 1
end{align}
则有以下等式成立：
egin{align}
g(n+1) &= frac{g(n+1)}{g(n)} cdot frac{g(n)}{g(n-1)} cdot frac{g(n-1)}{g(n-2)} cdots frac{g(4)}{g(3)} cdot frac{g(3)}{g(2)}
otag \
&=frac{(2n-2)(2n-3)}{(n-1)(n-1)} cdot frac{(2n-4)(2n-5)}{(n-2)(n-2)} cdots frac{(4)(3)}{(2)(2)} cdot frac{(2)(1)}{(1)(1)}
otag \
&= frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} = C_{2n-2}^{n-1} = nf(n+1)
otag
end{align}
所以有最终的计算公式：
egin{align}
f(n+1) = frac{1}{n} C_{2n-2}^{n-1}
end{align}
应用举例
例 1. (n) 个 (1) 和 (n) 个 (0) 组成一 (2n) 位的二进制数，要求从左到右扫描，(1) 的累计数不小于 (0) 的累计数，试求满足这条件的数有多少？（与网易 2018 春季数据分析实习生笔试类似）
解： 设 (p_{2n}) 为所求结果。在 (2n) 位上填入 (n) 个 (1) 的方案为 (C_{2n}^n)，不填 (1) 的其余 (n) 位自动填以数 (0)。从 (C_{2n}^n) 中减去不符合要求的方案即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描，出现 (0) 的累计数超过 (1) 的累计数的数。不合要求的数的特征是从左到右扫描时，必然，在某一奇数 (2m+1) 位上首先出现 (m+1) 个 (0) 的累计数，和 (m) 个 (1) 的累计数。此后的 (2(n-m)-1) 位上有 (n-m) 个 (1)，(n-m-1) 个 (0). 如若把后面这部分 (2(n-m)-1) 位，(0) 与 (1) 交换，使之成为 (n-m) 个 (0)，(n-m-1) 个 (1)，结果得一个由 (n+1) 个 (0) 和 (n-1) 个 (1) 组成的 (2n) 位数，即一个不合要求对应于一个由 (n-1) 个 (0) 和 (n+1) 个 (1) 组成的一个排列。反过来，任何一个由 (n+1) 个 (0)，(n-1) 个 (1) 组成的 (2n) 位数，由于 (0) 的个数多两个，(2n) 是偶数，故必在某一个奇数位上出现 (0) 的累计数超过 (1) 的累计数。同样在后面部分，令 (0) 和 (1) 互换，使之成为由 (n) 个 (0) 和 (n) 个 (1) 组成的 (2n) 位数。即 (n-1) 个 (0) 和 (n+1) 个 (1) 组成的 (2n) 位数，必对应于一个为合要求的数。
上述方法建立了由 (n+1) 个 (0) 和 (n-1) 个 (1) 组成的 (2n) 位数，与由 (n) 个 (0) 和 (n) 个 (1) 组成的 (2n) 位数中从左向右扫描出现 (0) 的累计数超过 (1) 的累计数的数一一对应。因而不合要求的 (2n) 位数与 (n+1) 个 (0)，(n-1) 个 (1) 组成的排列一一对应 ，故有
egin{align}
p_{2n} = C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = (2n)! left[ frac{1}{n!n!} -frac{1}{(n-1)!(n+1)!}
ight] = frac{(2n)!}{(n+1)!n!} = frac{1}{n+1}C_{2n}^n = f(n+2)
end{align}
上个问题对应下图左中从原点 ((0,0)) 到 ((n,n)) 点的路径要求中途所经过的点 ((a,b)) 满足关系 (aleqslant b).
对应的办法是从 ((0,0)) 出发，对 (2n) 位数从左而右扫描，若遇到 (1) 便沿 (y) 轴正方向走一格；若遇到 (0) 便沿 (x) 轴正方向走一格。由于有 (n) 个 (0)，(n) 个 (1)，故对应一条从 ((0,0)) 点到 ((n,n)) 点的路径。由于要求 (1) 的累计数不少于 (0) 的累计数，故可以途经对角线 (OA) 上的点，但不允许穿越过对角线。反过来，满足这条件的路径对应一满足要求的 (2n) 位二进制数。
例 2. 将例 1 中的 (1) 看成左括号，(0) 看成右括号，就变成了合法括号表达式的个数。比如两个左括号和两个右括号组成的合法表达式有 (p_4 = f(2+2) = 2) 种，即 (()()) 和 ((())).
例 3. (n) 个数入栈后出栈的排列总数是 (f(n+2)). 比如 (1,2,3) 的出栈顺序有 (123,132,213,231,321) 五种。