1. 题目描述
如何使用位操作分别实现整数的加减乘除四种运算？
2. 解决方案
需要熟练掌握一些常见功能的位操作实现，具体为：
<1> 常用的等式：-n = ~(n-1) = ~n+1
<2> 获取整数n的二进制中最后一个1：n&(-n) 或者 n&~(n-1)，如：n=010100，则-n=101100，n&(-n)=000100
<3> 去掉整数n的二进制中最后一个1：n&(n-1)，如：n=010100，n-1=010011，n&(n-1)=010000
（1） 加法实现
可以很容易地用“异或”和“或”操作实现整数加法运算：对应位数的“异或操作”可得到该位的数值，对应位的“与操作”可得到该位产生的高位进位，如：a=010010，b=100111，计算步骤如下：
第一轮：a^b=110101，(a&b)<<1=000100， 由于进位（000100）大于0，则进入下一轮计算，a=110101，b=000100，a^b=110001，(a&b)<< 1=001000，由于进位大于0，则进入下一轮计算：a=110001，b=001000，a^b=111001，(a&b)<< 1=0，进位为0，终止，计算结果为：111001。
代码如下：
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int add(int a, int b) { int carry, add; do { add = a ^ b; carry = (a & b) << 1; a = add; b = carry; } while(carry != 0); return add;} |
（2） 减法实现
减法可很容易地转化为加法：a - b = a + (-b) = a + (~b + 1 )
代码如下：
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int subtract(int a, int b) { return add(a, add(~b, 1));} |
（3） 乘法实现
先看一个实例：1011*1010：
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1011 * 1010 ---------- 10110 < 左移一位，乘以0010+ 1011000 < 左移3位，乘以1000---------- 1101110 |
因而乘法可以通过系列移位和加法完成。最后一个1可通过b&~(b-1)求得，可通过b& (b-1)去掉，为了高效地得到左移的位数，可提前计算一个map，代码如下：
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int multiply(int a, int b) { bool neg = (b < 0); if(b < 0) b = -b; int sum = 0; map<int, int=""> bit_map; for(int i = 0; i < 32; i++) bit_map.insert(pair<int, int="">(1 << i, i)); while(b > 0) { int last_bit = bit_map[b & ~(b - 1)]; sum += (a << last_bit); b &= b - 1; } if(neg) sum = -sum; return sum;}</int,></int,> |
（4） 除法实现
乘法可很容易转化为减法操作，主要思想与乘法实现类似，代码如下：
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int divide(int a, int b) { bool neg = (a > 0) ^ (b > 0); if(a < 0) a = -a; if(b < 0) b = -b; if(a < b) return 0; int msb = 0; for(msb = 0; msb < 32; msb++) { if((b << msb) >= a) break; } int q = 0; for(int i = msb; i >= 0; i--) { if((b << i) > a) continue; q |= (1 << i); a -= (b << i); } if(neg) return -q; return q;} |
