畢達哥拉斯定理（勾股定理）
畢達哥拉斯定理（a2 + b2 = c2）是非常有名的：如果一個公式可以像辛普森那樣，那麼它必然會出名。
但是我們通常認為這個公式隻是應用在三角形與幾何學中而已。但是再想想。隻要涉及到平方數，那麼畢達哥拉斯定理就可以應用在任何形狀以及任何方程式中去。
請你繼續讀下去，看看這個已經有2500年歷史的定理是如何幫助我們理解計算機科學，物理，甚至是Web 2.0所體現的社交價值。
2.1 理解面積是怎樣計算的
我喜歡在一個古老的話題中有新的發現，並且可以挖掘出更深刻的東西。舉例來說，直到我寫完這個章節之前我發現其實自己一直沒有深刻的理解面積這個概念。沒錯，我們可以快速的列舉出大量的公式，但是我們真的理解面積的性質嗎？
我們可以通過計算任意線段的平方來得到任意圖形的面積
在正方形中，平方項就是正方形的一條邊，而正方形的面積就是邊的平方（邊為5，那麼面積就是25）。在圓中，這個線段指的是它的半徑，而它的面積就是πr2 （半徑是5，那麼面積就是25π）。相當容易。
我們可以任意選取線段，然後從眾計算出面積：在每一種線段對應的面積公式中都有一個相應的面積系數：
面積＝系數·（線段）2
舉例來說，正方形中的對角線（“d”）。通常意義上的邊等於d/√2 ，所以面積就是d2/2。在這個例子中如果我們選擇使用對角線的平方計算面積，那麼相應的面積常數就是”1/2 ”。
現在，使用整個周長（“p”）作為線段，通常意義上的邊長等於p/4，所以面積就是p2 /16。使用p2 計算面積時所對應的面積系數就是1/16。
2.2 我們可以任意選取線段嗎？
這是肯定的。因為在你選取的任意一條線段（比如說正方形的周長，正好是邊長 的四倍）總可以通過一定的關係與通常意義上計算面積的線段相聯繫起來（比如說正方形的邊長）。因此我們可以通過“傳統線段”與“新式線段”的轉換來計算面積，我們怎樣選擇線段並不影響計算——隻是相乘的面積系數會有所不同而已。
2.3 我們可以在任意形狀中使用這一方法嗎？
部分可以使用。一個給定的圖形面積公式隻適用於相似的圖形，而這裏類似指的是它們隻是統一形狀的不同縮放而已。這裏舉一些例子：
- 所有的正方形都是相似的（面積都是s2 ）
- 所有的圓也都是相似的（面積都是πr2）
- 不是所有的三角形都是相似的：有些是銳角三角形，有些是鈍角三角形——根據選取線段的不同，每一種類型都有著各自的面積系數。改變了三角形的形狀，它的面積公式也要改變。
是的，所有的三角形都可以通過面積＝(1/2)·底·高來計算它的面積。但是底與高的關係依賴於三角形的形狀，所以它們的面積系數也會有差異。
為什麼我們需要相似性來保證它們可以使用相同的面積公式呢？直覺告訴我們，我們等比例縮放一個圖形時，絕對大小會改變，但是比例卻不會發生改變。一個正方形，無論它怎麼縮放，都有周長＝4·邊長。
因為面積系數的選擇基於圖形的比例，所以任何擁有相同比例的圖形都可以通過 同一公式來計算面積。。這有些像所有人的臂展都近似等於身高。不管他是NBA球員還是一個孩子，他們都可以使用相同的公式因為他們都是相關的。（這種直覺 化的論證可能並不會讓數學家滿意——但是在這個例子中，有什麼問題可以去問問歐幾裏德）。
我希望這些更高級的概念能夠說得通：
- 面積可以從任何線段的平方中得到，而不隻是從邊長或半徑中
- 每一個線段都有相應的“面積系數”
- 相似的圖形可以使用同一面積公式
但是有人會問：為什麼相似的圖形擁有一樣的面積系數呢？以下是我的理解：
成比例的圖形擁有相同的比例。為什麼呢？當我們移動一個物體，顯然它的大小會發生改變（比如說一個停止標誌靠近或走遠），但是它的比例不會發生變化。一個物體有可能直到它正在被遠處的人觀察，因而去改變自己的邊長與面積的比例嗎？
考慮兩個相似的圖形。把大的移動到遠處，直到看起來它的大小與小的圖形相等。現在它們看起來一樣了，因此它們擁有相同的比例關係（比如說周長與面積）。現在拉動大的圖形。它看起來更大了，但是在移動的過程中，它的比例關係並沒有發生變化——它們就跟小圖形的比例關係一樣。
這是一位讀者（Per Vognsen）更加正規的證明：
你隻需要證明對於一類相似圖形，L2/A 是一個常數即可。在一類相似圖形中任意選取兩個圖形，它們的面積分別是 A 與 A' ，長度分別是 L 與 L' 。令F是把一個圖形映射到其他圖形上的縮放系數。然後我們就得到A ＝ F2 * A'，L ＝ F * L' 。把長度平方即可得到 L2 ＝ F2 * L'2 。面積方程除以該等式，F2 便可以被消掉，同時得到 A/L2 = A/L'2 。所以便可知面積與長度平方的比例確實為一常數。
2.4 直覺化的看待畢達哥拉斯定理
我想我們都承認畢達哥拉斯定理是成立的。但是許多證明都是一種機械化的理解：重新調整圖形，瞧，這就證明了這個定理。但是這樣很清楚嗎，直觀地看，那就是一定是 a2 + b2 ＝c2 而不是2a2 + b2 ＝ c2 嗎？不是的，讓我們來直觀地看看。
我們要用到一個至關重要的概念：任意直角三角形都可以分解成兩個相似的直角三角形。
很酷，是吧？通過一個點畫一條垂線就可以把一個直角三角形分成兩個小直角三角形。幾何愛好者們，試著自己證明一下這個命題：利用相似性中的角-角-角來證明。
這個示意圖把一些事解釋的很清楚：
面積（大）＝面積（中）+面積（小）
這能說得通，對吧？小三角形是從大三角形中切出來的，所以面積就是把較小三角形的面積相加起來。而更讓人意外的是：因為這些三角形都相似，所以它們的面積公式也都相同。
讓我們把最長的邊稱為 c（5），較小的邊稱為 b（4），而最小的邊長則稱為 c（3）。這種三角形的的面積公式就是：
面積＝F·斜邊
這裏的F是面積系數（在這裏是6/25或0.24；具體是那個數值並不重要）。現在讓我們利用以下方程式做運算：
面積（大）＝面積（中）+面積（小）
F· c2 ＝ F· b2 + F· a2
兩邊同除以F，便可以得到：
c2 ＝ b2 + a2
這就是那個最著名的定理！你知道它是真的，但是你現在直到它為什麼是真的：
- 一個三角形可以分成兩個更小的相似三角形
- 因為面積是通過相加得到的，所以邊長的平方（它決定了面積）也要相加。
這可能需要花點時間來想清楚，但是我希望結果對你來說是顯而易見的。為什麼小三角形相加沒有得到一個更大的三角形呢？
實際上，畢達哥拉斯定理成立是基於歐幾裏德幾何的假設，比如它在球體上便不再成立，但是我們會在以後再討論這個問題。
2.5 一些應用：試試任意一種圖形
我們在示意圖中利用了三角形，最簡單的一種二維圖形。但是線段可以是任意一種圖形的線段。一圓形為例：
當我們把它們相加時會發生什麼呢？
你猜到了吧：半徑為5的圓 ＝ 半徑為4的圓 + 半徑為3的圓。
相當神奇，是吧？我們可以把畢達哥拉斯定理乘以面積系數（比如說這個例子中的π），然後就得出了任意一種圖形的關係。
記住，線段可以是圖形的任意部分。我們可以選用圓的半徑，直徑，或者是圓周——儘管有著不同的面積系數，但是 3-4-5 的關係始終成立。
所以，無論是披薩還是尼克松的面具你都可以相加，畢達哥拉斯定理幫助你把相似圖形的面積聯繫起來。接下裏就是一些你未曾在學校中學到的東西。
2.6 一些有用的應用：平方項守恆
畢達哥拉斯定理可以應用在任何有平方項的方程式中。
分割直角三角形意味著你可以把任意一個數（c2）分解為兩個較小數字的和（a2 + b2 ）。在現實生活中，邊長的“長度”可以是距離，能量，工作，時間，甚至是在社交網絡中的人們。
社交網絡
麥卡福定理（Metcalfe's Law）（如果你相信的話）說網絡的價值與n2 （關係的數量）有關。如下所示
50M的網絡 ＝ 40M的網絡 + 30M的網絡
相當驚人——第二項網絡與第三項網絡共有70M的人，但是它們並不是簡單的相加。一個有五千萬人的網絡跟它們加起來的價值相當。
計算機科學
一些程序如果有n個輸入，那麼就要花費n2 的時間（比如說冒泡排序法）。耗費時間表示如下：
50個輸入 ＝ 40個輸入 + 30個輸入
相當有意思。總共70個元素的兩組輸入跟一組50個元素輸入所花費的時間相同。（是的，可能會有一些總開銷或是啟動開銷有所不同，但在這裏暫且不予以考慮）
根據這個關係，把元素進行分成子組進行運算就有意義了。事實上，一種較優的排序法——快速排序法中就用到了這一關係。畢達哥拉斯定理幫助我們理解了對50個元素進行排序跟對30個以及40個兩組不同的元素進行排序，所消耗的時間是一樣。
表面積
球面的表面積是4πr2 。所以就有：
半徑為50的球面積 ＝ 半徑為40的球面積 + 半徑為30的球面積
我們並不經常用到球面積，但是船身有著一樣的關係（船身就像是畸形化的球面，對吧？）。假設船隻的形狀都相似，給50英尺的游艇噴漆所用的顏料正好可以給40英尺與30英尺的游艇噴漆。嘔耶！
物理
如果你還記得在物理課上學過的，一個質量為m，速度為v的物體的動能等於mv2/2。因此有
500邁的能量＝400邁的能量 + 300邁的能量
加速一個子彈到500邁的能量，可以把兩個同樣的子彈分別加速到400邁與300邁。
2.7 享受你的新觀點
經歷了整個學校生涯我們一直認為畢達哥拉斯定理隻與三角形和幾何有關。但其實不是。
當你看到一個直角三角形時，你意識到它的邊長可以代表任何圖形的任意一個部分，或者是代表任何有平方項的方程中的一個變量。我發現這非常驚人。
這個定理還有許多有意思的地方，比如說測量任意長度。好好發掘吧。