题解 GDFZOJ 【646】 01背包

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这是一道(Dp)的模板题，也没什么好说的，直接开始吧

一、审题

有N件物品和一个容量为(V)的背包。第(i)件物品所占空间是(C_i)，价值是(W_i)。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

数据范围：(0 le V le 1000,0le Nle 100,0 < C le 1000,0 < W le 100)

似乎并没有什么关键点，粗略判断时间复杂度，(emm······)，(O(NV))是可以过的，那就往这方面想吧

二、做题

0、贪心

若果你还没学过(Dp)，就很容易会想到用贪心来做这道题，设一个数组(sum_i=dfrac{W_i}{C_i})，然后优先但是就会出现一个很大的问题：假设我们背包的容量(C=10)，有以下三个物品

物品编号	A	B	C
C	6	5	5
W	9	6	6
Sum	1.5	1.2	1.2

根据以上的贪心策略，我们应该是要选(A)的，但是我们发现同时选(B)和(C)的话得到的价值会更大呀，贪心思想不能从大局考虑，所以必须要用(Dp)

1、背包

既然确定了是动规，那就可以愉快地开始推式子啦

让我假设现在的背包的容量C=10；

物品编号	物品重量	物品价值
1	5	20
2	6	10
3	4	12

我们用(v[i])表示物品价值，(w[i])表示物品重量，再首先定义状态$ dp[i][j](以)j$ 为容量为放入前(i)个物品(按(i)从小到大的顺序)的最大价值，那么 (i=1)的时候，放入的是物品(1)，这时候肯定是最优的啦！

那考虑一下当前容量(j)，如果 (j<5)，那么肯定就不能放，所以(dp[1][j]=0(j<5))；那如果 (j>5)，那就可以放进去了的呀，所以(dp[1][j]=20(j>=5))；

接着 i=2i=2 放两个物品，求的就是 (dp[2][j]) 了，当 $j<5 $的时候，是不是同样的 (dp[2][j](j<5)=0)；那当 (j<6) 是不是还是放不下第二个，只能放第一个；

那 (j>6) 呢？是不是就可以放第二个了呢？是可以，但是明显不是最优的，用脑子想了一下，发现 (dp[2][j](j>6)=20)，这个 (20)怎么来的呢，当然是从前一个状态来的（注意这里就可以分为两种情况了）：一种是选择第二个物品放入，另一种还是选择前面的物品；

我们假设(j=10)，这时候：(dp[2][10]=max((dp[1][10-w[2]])+v[2],dp[1][10]))也就是(dp[2][10] = max(dp[1][4])+10,dp[1][10]))

是不是很明显了呢，(dp[1][4]+10)是选择了第二个，于是容量相应就减少成 (4)，之前已经得出 (dp[1][4]=0)，就是说选了物品(2)，物品(1)就选不了了；(dp[1][10])是不选择第二个，只选择第一个(dp[1][10])是等于(20)的，于是得出(dp[2][10]=20)

到这里就可以了，依次类推，动态转移方程为

[dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]])+v[i],dp[i-1][j] ]

但是好像还有一些问题没考虑完.........

2、需要单独考虑的问题

看回例子：

物品编号	物品重量	物品价值
1	5	20
2	6	10
3	4	12

我们知道(dp[1][j](j<5)=20)，那么(dp[2][j](j=5))的时候是多少呢？我们看到动态转移方程并没有考虑 (j<w[i]) 的情况，但是我们可以加进去，由于我们可以看出来(dp[2][5]=5)，为什么？因为不能选第二个，只能选第一个，所以(dp[2][5]=dp[1][5])了！所以当(j<w[i])的时候，(dp[i][j]=dp[i-1][j])就好了，是不是很神奇呢?

3、一维优化

我们刚是用二维来存状态的，那可不可以压缩到一维呢？

答案是可以的，其实我们发现上面的(i)是可以省去的，但这个时候就会有人说了：物品会重复放入。所以重点就是，一维内层循环要倒着来！不然会重复放入

三、代码

1、二维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int w[105],val[105];
int dp[105][1005];
int main()
{
	int t,m,res=-1;
	scanf("%d%d",&t,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	for(int j=t;j>=0;j--)
	if(j>=w[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i],dp[i-1][j]);
	else dp[i][j]=dp[i-1][j];
	printf("%d",dp[m][t]);
	return 0;
}

2、一维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int aa[1000001],bb[1000001],f[1000001];
int a,b,c,d;
int main()
{
	scanf("%d%d",&a,&b);
	for(int i=1;i<=b;++i) scanf("%d%d",aa+i,bb+i);
	for(int i=1;i<=b;i++)
	{
		for(int j=aa[i];j<=a;j++)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-aa[i]]+bb[i]);
		}
	}
	printf("%d",f[a]);
}

完美撒花！！！