矩阵正定
对于实对称矩阵正定《==等价条件==》非任意零实系数向量z,>0
对于埃尔米特矩阵(复数共轭对称矩阵)正定《==等价条件==》于任意非零复数向量z,
==等价条件==
- 矩阵的所有特征值都是正的;
- 顺序主子式大于零
- 对任意非零向量x, x’Ax > 0.
矩阵负定、半定、不定
为埃尔米特阵,表示向量z的共轭转置
==负定==
对于矩阵,对于所有非零向量z, ;
一、负定矩阵判别方法有:
1、 A 的特征值都小于0
2、A的k阶顺序主子式 * (-1)^k > 0
3.、对任意非零向量x, x’Ax < 0.
(也就是偶数阶主子式为正,奇数阶主子式为负)。
顺序主子式是行列式,第k阶顺序主子式就是矩阵的前k行和前k列组成的行列式,
==半正定==
对于所有非零向量z, ;
==半负定==
对于所有非零向量z, ;
==不定==
既不半正定也不半负定
conclusion
- 正定负定是相对于对称矩阵、埃尔米特阵来说的;