Codeforces Beta Round #22 (Div. 2 Only) C. System Administrator（构造割点）

 

题目大意

 

给了 n 个节点以及一个特殊的顶点 v(3<=n<=10⁵)，让你用 m(0<=m<=10⁵) 条边建一个无向图，使得这个图以 v 为它的一个割点

 

做法分析

 

无向图中，一个割点同时属于两个点双连通分量

我们可以这样做，假设割点的一边是连通的（不一定是双连通），里面点的个数设为 x(不包括割点 v)，割点的另一边也是连通的，里面点的个数肯定是 n-x-1(不包括割点)

那么，两边中，边的总数最多是 C²_x+1+C²_n-x=x²+(1-n)*x+(n²-n)/2

注意：这是一个凹函数，对称轴是 x=(n-1)/2，且 x 的取值范围是 [1, n-2] 中的整数，要使函数取最大值，x 不是等于 1 就是 n-2(又对称性，二者等值)

也就是说，v 的一边只有一个节点，另一边有 n-2 个节点的时候，得到的边数最大，为 2-n+(n²-n)/2

边数的下界为：n-1（形成一棵树）

 

当 m 不再这个上下界中时，肯定不能构造出来图，当边数在这个区间中时，直接枚举点构造就行了（因为边肯定足够，也不会多，构造出来的图一定是符合条件的）

 

参考代码

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;
LL n, m;
int v;

void deal(int s, int t, int edge)
{
    for(int k=1; edge; k++)
        for(int i=s; i+k<=t && edge; i++)
        {
            printf("%d %d\n", i, i+k);
            edge--;
        }
}

int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%d", &n, &m, &v);

    if(m>(2-n+(n*n-n)/2) || m<n-1)
    {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    if(v==1)
    {
        printf("%d %I64d\n", v, n);
        deal(1, n-1, m-1);
    }
    else
    {
        printf("%d %d\n", 1, v);
        deal(2, n, m-1);
    }
    return 0;
}

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Codeforces Beta Round #22 (Div. 2 Only) C. System Administrator