最短路径覆盖问题

首先诚挚感谢BYvoid大神博客里提供的好题和数据

此为线性规划与网络流24题的第三题。

«问题描述：
给定有向图G=(V,E)。设P 是G 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V 中每个
顶点恰好在P 的一条路上，则称P是G 的一个路径覆盖。P 中路径可以从V 的任何一个顶
点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G 的最小路径覆盖是G 的所含路径条数最少
的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G 的最小路径覆盖。

«编程任务：

对于给定的给定有向无环图G，编程找出G的一个最小路径覆盖。
«数据输入：
由文件input.txt提供输入数据。文件第1 行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图
G 的顶点数，m是G 的边数。接下来的m行，每行有2 个正整数i和j，表示一条有向边(i,j)。
«结果输出:
程序运行结束时，将最小路径覆盖输出到文件output.txt 中。从第1 行开始，每行输出
一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

建模部分分析：

考虑到在一个满足要求的路径覆盖中：

每个顶点属于且仅属于一条路径

每个点处最多出发一条边到达另一顶点

于是将一个点i拆成两个点Xi和Yi，分别代表从点i出发和到达点i。从而建立一个二分图，若原图中存在边（i,j），则在二分图中构造边（Xi，Yi），容量设为1。

再建立源点S，汇点T，S与每个X连接一条容量为1的边，T与每个Y连接一条容量为1的边。用最大流求最大二分匹配即可。

因为每增加一个匹配数，就能多“赚”到一个点。（贪心思想）

所以二分匹配数最大时，路径数最小。

最少的路径条数即为点的总数减去最大匹配数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;
const int MAXN=1010;
int graph[MAXN][MAXN];
int match[MAXN];
int visit[MAXN];
int path[MAXN];
int n,m,f=0;
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    rep(i,1,m)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        graph[x][++graph[x][0]]=y;
    }
}
bool crosspath(int k)
{
    rep(i,1,graph[k][0])
    {
        int &t=graph[k][i];                 //试试能不能让k和t配
        if(!visit[t])
        {
            visit[t]=1;                     //标记t在第i轮寻找增广路的时候已经被访问过了
            if(!match[t]||crosspath(match[t]))          //如果t单身或者t的伴可以另外找到一个伴
            {
                match[t]=k;                              //把t许配给k
                path[k]=t;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
void hungary()
{
    rep(i,1,n)
    {
        if(crosspath(i)) f++;
        memset(visit,0,sizeof(visit));
    }
}
void pout()
{
    rep(i,1,n)
    {
        int t=i;
        if(!visit[i])
        {
            while(path[t]) t=path[t];
            while(match[t])
            {
                visit[t]=1;
                printf("%d ",t);
                t=match[t];
            }
            printf("%d
",t);
        }
    }
    printf("%d",n-f);
}
int main()
{
    freopen("path2.in","r",stdin);
    init();
    hungary();
    pout();
    return 0;
}