AIM Tech Round 3 (Div. 2)

5/5

这一场是比较水的一场（当然我是指div2），所以前面三题就略过吧。。。

 

题D D. Recover the String

题意：让你构造一个01串，给你00，01，10，11的子序列个数，问你有没有满足的串。

题解：这题实际上并不难， 只是分类讨论有点麻烦。

首先是00和11一定是满足n * （n - 1）  / 2，先判定一下

然后得到0的个数x，1的个数y

然后我们注意到，现一开始所有的0放在一起，然后插入一个位置k，那么我们发现01多了k，10多了x – k；假设这y个1 的位置是k1，k2，……，ky，然后01的个数和是sum{ki}，然后10的和为xy -sum{ki}，只要先放多个1在最右端，然后将余数放在中间某个位置即可。这个很容易想到，关键是易错点：0和1的个数为0和1的时候要特判，为了避免出错，代码写得恶心一点也无妨。。

/*zhen hao*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lson l, m, rt*2
#define rson m + 1, r, rt*2+1
#define X first
#define Y second

typedef pair<int,int> PII;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 1e9;
vector<LL> v;

void init() {
  for (int i = 1; ; i++) {
    if (1LL * i * (i - 1) / 2 > N) break;
    v.push_back(1LL * i * (i - 1) / 2);
  }
}

int get_num(LL x) {
  int p = lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin();
  if (v[p] != x) return -1;
  else return p + 1;
}

char ans[1000010];

int main() {
//  freopen("case.in", "r", stdin);
  init();
  LL a00, a01, a10, a11;
  cin >> a00 >> a01 >> a10 >> a11;
//  cout << get_num(a00) << ' ' << get_num(a11) << endl;
  int x = get_num(a00), y = get_num(a11);
//  cout << x << ' ' << y << endl;
  if (x == -1 || y == -1) {
    puts("Impossible");
    return 0;
  }
  if (a00 == 0) {
    if (a11 == 0) {
      if (a01 == 0 && a10 == 0) puts("0");
      else if (a01 == 1 && a10 == 0) puts("01");
      else if (a01 == 0 && a10 == 1) puts("10");
      else puts("Impossible");
    }
    else {
      if (a01 + a10 == y) {
        for (int i = 0; i < y - a01; i++) putchar('1');
        putchar('0');
        for (int i = 0; i < a01; i++) putchar('1');
        puts("");
      }
      else if (a01 + a10 == 0) {
        for (int i = 0; i < y; i++) putchar('1');
        puts("");
      }
      else puts("Impossible");
    }
    return 0;
  }
  if (a11 == 0) {
    if (a01 + a10 == x) {
      for (int i = 0; i < x - a10; i++) putchar('0');
      putchar('1');
      for (int i = 0; i < a10; i++) putchar('0');
      puts("");
    }
    else if (a01 + a10 == 0) {
      for (int i = 0; i < x; i++) putchar('0');
      puts("");
    }
    else puts("Impossible");
    return 0;
  }
  if (1LL * x * y != a01 + a10) {
    puts("Impossible");
    return 0;
  }
  int head = a01 / y, mid = a01 % y != 0, tail = x - head - mid;
  if (head > x || tail < 0) {
    puts("Impossible");
    return 0;
  }
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < head; i++) ans[cnt++] = '0';
  if (mid) {
    int num = a01 % y;
    for (int i = 0; i < y - num; i++) ans[cnt++] = '1';
    ans[cnt++] = '0';
    for (int i = 0; i < num; i++) ans[cnt++] = '1';
  }
  else {
    for (int i = 0; i < y; i++) ans[cnt++] = '1';
  }
  for (int i = 0; i < tail; i++) ans[cnt++] = '0';
  puts(ans);
  return 0;
}

 

题E

题意：定义“删边”，将一条边删掉分成两个子树，其中一棵子树可以任意接在另一棵子树的任意结点上，给你一棵树，对于每个点问你能不能通过至多删掉一条边使得这个点成为重心。

题解：实际上做法很简单易懂，对于一个点使得以它为根，然后找出最大的一个子树，然后问你这棵子树能不能分出一个子树的size为x，使得x <= n / 2，然后剩余的子树的size也是<=n / 2。所以我们只要对于每个点求出一个val[v]表示以他为根的子树v中最大的分出的size不超过n / 2是多少，然后对于每个子树size[v] – val[v] <= n / 2均满足即可。如果单纯地做复杂度是O（n ^ 2）。要利用dp的思想任意选一个点为根，然后dfs三次，第一次求出sz[v]表示这棵子树的size，并且转化成有根树。第二次dfs求出down[v]表示以v为根的子树中最大的不超过n / 2的子树的size是多少。第三次就是求出最up[v]表示除了v这个子树的另外一个子树的结点不超过n / 2的最大子树（这个比较麻烦，要记录最大和次大，然后传递给子树具体看代码）。

 

/*zhen hao*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define lson l, m, rt*2
#define rson m + 1, r, rt*2+1
#define X first
#define Y second

typedef pair<int,int> PII;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 4e5 + 10;
int up[N], down[N], sz[N], fa[N];
int n;

vector<int> g[N];

void dfs_sz(int u, int p = - 1) {
  sz[u] = 1;
  fa[u] = p;
  for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
    int v = g[u][i];
    if (v == p) continue;
    dfs_sz(v, u);
    sz[u] += sz[v];
  }
}

void dfs_down(int u, int p = -1) {
  if (sz[u] <= n / 2) down[u] = sz[u];
  for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
    int v = g[u][i];
    if (v == p) continue;
    dfs_down(v, u);
    down[u] = max(down[u], down[v]);
  }
}

void dfs_up(int u, int p = -1, int pre = 0) {
//  cout << u << ' ' << p << ' ' << pre << endl;
  up[u] = n - sz[u] <= n / 2 ? n - sz[u] : pre;
  int _max = 0, next_max = 0;
  for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
    int v = g[u][i];
    if (v == p) continue;
    if (down[v] >= _max) {
      next_max = _max;
      _max = down[v];
    }
    else if (down[v] >= next_max) {
      next_max = down[v];
    }
  }
  for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
    int v = g[u][i];
    if (v == p) continue;
    if (down[v] == _max) dfs_up(v, u, max(up[u], next_max));
    else dfs_up(v, u, max(up[u], _max));
  }
}

int main() {
//  freopen("case.in", "r", stdin);
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    u--; v--;
    g[u].push_back(v);
    g[v].push_back(u);
  }
  dfs_sz(0);
  dfs_down(0);
  dfs_up(0);
//  for (int i = 0; i < n; i++) cout << sz[i] << ' ' << down[i] << ' ' << up[i] << endl;
  for (int u = 0; u < n; u++) {
    int ok = 1;
    for (int i = 0; i < (int)g[u].size(); i++) {
      int v = g[u][i];
      if (v == fa[u]) {
        if (n - sz[u] - up[u] > n / 2) ok = 0;
      }
      else {
        if (sz[v] - down[v] > n / 2) ok = 0;
      }
    }
    printf("%d ", ok);
  }
  puts("");
  return 0;
}