找新朋友---hdu1286（欧拉函数）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1286

欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是求少于n的数中与n互质的数的数目；

素数（质数）指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数.

φ函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

 

φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

 

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

 

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

 

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

 

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

 

　　　　　若n为质数则φ(n)=n-1。

 

利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。

 

欧拉函数和它本身不同质因数的关系：

欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p）亦即:（P是数N的质因数）

单独求n的欧拉函数值：

int Euler(int n)///返回n以内与n互质的数的个数；
{
    int ret=1;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            n/=i;
            ret*=i-1;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                ret*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
        ret*=n-1;
    return ret;
}

　　筛选法求n以内所有的欧拉函数值（ O(n) ）

/*线性筛O(n)时间复杂度内筛出N内欧拉函数值*/
int m[N], el[N], p[N], pcnt=0;//m[i]是i的最小素因数，p是素数，pt是素数个数

void make()
{
    el[1]=1;
    int k;
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(!m[i])//i是素数；
        {
            p[pcnt++]=m[i]=i;
            el[i]=i-1;
        }
        for(int j=0; j<pcnt&&(k=p[j]*i)<N; j++)
        {
            m[k]=p[j];
            if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛，要break
            {
                el[k]=el[i]*p[j];//这里的el[k]与el[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样（m[i]==p[j]）只差一个p[j]，就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了；
                break;
            }
            else
                el[k]=el[i]*(p[j]-1);//积性函数性质，f(i*k)=f(i)*f(k)；
        }
    }
}

　　简单的写法：

int eul[N];
void Euler(int n)///打表法求eul[i] (i<n)
{
    for(int i=2; i<n; i++)
    {
        if(eul[i]) continue;
        for(int j=i; j<n; j+=i)
        {
            if(!eul[j]) eul[j] = j;
            eul[j] = eul[j] / i * (i-1);
        }
    }
}

　　

 附上本题代码：

#include<stdio.h>
int Euler(int n)///返回n以内与n互质的数的个数；
{
    int ret=1;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            n/=i;
            ret*=i-1;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                ret*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
        ret*=n-1;
    return ret;
}

int main()
{
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d
", Euler(n));
    }
    return 0;
}