最大公因数(gcd.c/.cpp/.pas)
题目描述
给定正整数n，求。
样例输入
6
样例输出
15
数据范围
对于40%的数据：1<=n<=1000000
对于100%的数据：1<=n<=3*10^12
提示：保证答案不超过10^18
原创题！
……好吧其实最后发现bzoj2705【longge的问题】跟这个一毛一样，但是这个数据更强
不过我真是独立yy出来的
首先，考虑gcd(i,n)==k的i有几个
显然这是等价于gcd(j,n/k)==1的j有几个，其中1<=j<=n/k
看到gcd==1，即j与n/k互质，你想到什么？显然是欧拉函数啊
gcd(j,n/k)==1的j的个数就是phi(n/k)，其中每个gcd(i,n)==k对答案的贡献是k，所以总的答案就是Σphi(n/k)*k,1<=k<=n且n%k==0
显然这个式子等价于Σphi(k)*(n/k),1<=k<=n且n%k==0
那么对n分解质因数，然后枚举它的每个因子取了多少个，算phi(k)*(n/k)就近似O(1)了
总复杂度是O(sqrt(n))
（所以完全可以开到10^15的，只是怕爆了long long要高精太麻烦）
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<deque>
#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#define LL long long
#define inf 0x7ffffff
#define pa pair<int,int>
#define mxprime 1500000
using namespace std;
bool mrk[1500010];
LL prime[1000000],a[100];
LL n,wrk,ans;
int lenp,len;
int b[100],now[100];
inline LL read()
{
LL x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void getprime()
{
for (int i=2;i<=mxprime;i++)
mrk[i]=1;
for (int i=2;i<=mxprime;i++)
if (mrk[i])
{
prime[++lenp]=(LL)i;
for(int j=2*i;j<=mxprime;j+=i)mrk[j]=0;
}
}
inline void dfs(int step)
{
if (step==len+1)
{
LL sum=1ll,tot=1ll;
for (int i=1;i<=len;i++)
{
for (int j=1;j<=now[i];j++)
sum*=a[i],tot*=a[i];
if (now[i])sum=sum/a[i]*(a[i]-1);
}
ans+=sum*(n/tot);
return;
}
for(int j=0;j<=b[step];j++)
{
now[step]=j;
dfs(step+1);
}
}
int main()
{
getprime();
n=wrk=read();
for (int i=1;prime[i]*prime[i]<=wrk;i++)
{
LL nowp=prime[i];
if (wrk%nowp==0)
{
a[++len]=nowp;
b[len]=1;
wrk/=nowp;
while (wrk%nowp==0)
{
b[len]++;
wrk/=nowp;
}
}
}
if (wrk!=1)
{
if (wrk==a[len])b[len]++;
else
{
a[++len]=wrk;
b[len]=1;
}
}
dfs(1);
printf("%lld
",ans);
}