汉诺塔

汉诺塔问题是一个经典的递归问题，大意是：有A， B， C三根柱子，A柱上有n个盘子，小的在上，大的在下，现在要在B柱的帮助下将A柱上的所有盘子移动到C柱上，而且要求每次只能移动一个，并且任何时候小的盘子只能在大的盘子上面。

利用递归逐步分解问题的思想可以轻松解决这道题。首先考虑只有一个圆盘（n=0）的情况，之间从A移动到C即可；对于n个圆盘的情况，可以分解为3步：首先把上层 n-1 个圆盘移到B柱，然后把A柱上的1个圆盘移到C柱，最后把B柱上的 n-1 个圆盘移到C柱，完成移动。所以问题就变成了 n-1 个柱子移动的问题，以此类推，直到回到最初的移动一个圆盘的时候。Python实现的代码如下：

def move(n, a, b, c):   
    if n == 1:
        print(a, ' --> ', c)
        return
    move(n-1, a, c, b)
    move(1, a, b, c)
    move(n-1, b, a, c)
    return

#结果如下：
>>> move(3, 'A', 'B', 'C')

A  -->  C
A  -->  B
C  -->  B
A  -->  C
B  -->  A
B  -->  C
A  -->  C

根据上述分析，第n个盘子需要把其上n-1个移走，然后底座1个移去目的地，最后把n-1个移过来，可以得出移n个盘子的所需的次数 f（n ）= f（n-1）* 2 + 1，解出来后 f（n）= 2^n - 1。古老传说中大梵天让婆罗门移动上有64片黄金圆盘的汉诺塔，计算一下，需要移动 2^64 - 1 次，就算一次一秒，完成也需要约5846亿年，可怕！

总结：我们可以看到，在解决这个问题的时候，如果纠结于每一个圆盘的移动，就会很复杂，但如果能够站在高处，不拘于细节而是把整个过程分解为几个大的部分，就能逐渐转化为更简单的问题。在思考递归的时候，可以将其当作一个黑盒来看待，而不必进入递归内部，否则容易越陷越深。