最小生成树问题---Prim算法与Kruskal算法实现（MATLAB语言实现）

　　2015-12-17晚，复习，甚是无聊，阅《复杂网络算法与应用》一书，得知最小生成树问题（Minimum spanning tree）问题。记之。

　　何为树：连通且不含圈的图称为树。

　　图T=(V,E),|V|=n,|E|=m,下列关于树的说法等价：

1. T是一个树。
2. T无圈，且m=n-1。
3. T连通，且m=n-1。
4. T无圈，但每加一新边记得到唯一一个圈。
5. T连通，但任舍去一边就不连通。
6. T中任意两点，有唯一道路相连。

　　何为生成树：若图G=(V,E)的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树，也称支撑树，简称为图G的数。图G中属于生成树的边称为数枝（Branch）。

　　何为最小生成树：连通图G=(V,E),每条边上有非负权L(e)。一棵树上所有树枝权的总和，称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树，也就是说最小支撑树，简称最小树。

　　私以为，两种算法其实都是贪心，所以需要严格的证明。由于最近时间零散、数学久置未学、对算法领域没有系统了解。所以不进行深入探讨（也就是说证明），仅以一个简单实例做一个入门级的了解。

　　Prim算法：

　　给定连通赋权图G=(V,E,W)，其中W为邻接矩阵，设两个集合P和Q，其中P用于存放G的最小生成树中的节点，集合Q存放G的最小G的最小生成树中的边。另集合P的初值为P={v₁}(假设构造最小生成树时从v₁出发)，集合Q的初值为P={空集}。

　　（1）P = {v₁},Q = {空集}；

　　（2）while P ~= Q

　　　　找到最小边pv,其中p∈P,v∈V-P;

　　　　P = P + {v};

　　　　Q = Q + {pv};

　　　　end

 　　Kruskal算法

　　（1）选e₁∈E(G)，使得w(e₁) = min（选e₁的权值最小）。

　　（2）e₁,e_2,..._,e_i已选好，则从E(G)-{e₁,e_2,..._,e_i}中选取e_i+1,使得G[{e₁,e_2,..._,e_i,e_i+1}]中无圈，且，w(e_i+1) = min。

　　（3）直到选得e_n-1为止。

　　以下是问题：

一个乡有9个自然村，其间道路及各道路长度如图所示，各边上数字代表距离。问如何架设电线最短。

　　

预输入：

A = zeros(9);
A(1,2:9) = [2 1 3 4 4 2 5 4];
A(2,[3, 9]) = [4 1];
A(3, 4) = 1;
A(4, 5) = 1;
A(5, 6) = 5;
A(6, 7) = 2;
A(7, 8) = 3;
A(8, 9) = 5;

Prim算法实现：

A = A+A';
A(A==0) = Inf;
P = zeros(1, 9);
P(1,1) = 1;
V = 1:9;
V_P = V - P;
link = zeros(8,2);
k=1;
while k<9
    p = P(P~=0);
    v = V_P(V_P~=0);
    pv = min(min(A(p,v)));
    [x, y] = find(A==pv);
    for i=1:length(x)
        if  any(P==x(i)) && any(V_P==y(i))集合判断，关键！
            P(1,y(i)) = y(i);
            V_P = V - P;
            link(k, :) = [x(i), y(i)];
            k = k+1;
            break;
        end
    end
end

输出：

>> link
link =
     1     3
     3     4
     4     5
     1     2
     2     9
     1     7
     7     6
     7     8

Kruskal算法实现：

A = sparse(A');
A(A==0) = Inf; 3 B = sparse(9, 9);
link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
while sum(sum(link)) == Inf%如果不连通，则和无穷大
    ind = find(A==min(min(A)));
    [x, y] = ind2sub(size(A), ind);%寻找最短边
    for i=1:length(x)
        if link(x(i), y(i))==Inf%判断是否连通，关键！！
            B(x(i), y(i)) = A(x(i), y(i));
            A(x(i), y(i))=Inf;%取差集
        end
    end
    link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
end

输出：

B =
   (2,1)        2
   (3,1)        1
   (7,1)        2
   (9,2)        1
   (4,3)        1
   (5,4)        1
   (7,6)        2
   (8,7)        3

所以结果是：

　　

（算法实现写于2015-12-18）

　　下一步工作，用其他语言实现，复杂度分析，深入论证算法正确性。

　　另外，代码中使用了graphallshortestpaths函数，这是最短路径的问题。关于最短路径将在下一篇讲述。其实MATLAB有关于求求最小生成树的函数graphminspantree，关于这一套函数，将结合官网资料，以后做梳理。

 A = sparse(A');
>> graphminspantree(A)
ans =
   (2,1)        2
   (3,1)        1
   (7,1)        2
   (9,2)        1
   (4,3)        1
   (5,4)        1
   (7,6)        2
   (8,7)        3

　　如此，可直接求得最小生成树。