本题适合小学五年级以上数学爱好者解答。
问题：
证明以下表达式可以被 $11$ 整除：$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k}.$$ 其中 $k$ 是任意自然数。
解答：
首先对原表达式进行化简：$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} = 5cdot 5^{5k} + 16 cdot 4^{5k} + 3^{5k}.$$ 欲证明该表达式可以被 $11$ 整除，需要考虑 $5^{5k}$、$4^{5k}$、$3^{5k}$ 除以 $11$ 的余数情况。
$$5^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 5^1 = 5 equiv 5 pmod{11}, 5^2 equiv 3 pmod{11},$$ $$5^{3} equiv 4 pmod{11}, 5^{4} equiv 9 pmod{11}, 5^{5} equiv 1 pmod{11};$$ $$4^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 4^1 = 4 equiv 4 pmod{11}, 4^2 equiv 5 pmod{11},$$ $$4^{3} equiv 9 pmod{11}, 4^{4} equiv 3 pmod{11}, 4^{5} equiv 1 pmod{11};$$ $$3^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 3^1 = 3 equiv 3 pmod{11}, 3^2 equiv 9 pmod{11},$$ $$3^{3} equiv 5 pmod{11}, 3^{4} equiv 4 pmod{11}, 3^{5} equiv 1 pmod{11}.$$ 由此可以得出，$$5^{5k} equiv 1 pmod{11}, 4^{5k} equiv 1 pmod{11}, 3^{5k} equiv 1 pmod{11}.$$ 因此 $$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} equiv 5 + 16 + 1 equiv 0 pmod{11}.$$
Q$cdot$E$cdot$D
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
联系作者：zhaoyin.math@foxmail.com