本题适合小学四年级以上数学爱好者解答。
问题：
观察以下数列：
$2$, $3$, $6$, $1$, $8$, $6$, $8$, $cdotscdotscdots$,
其前面几项的构成规律是：
$2 imes3 = 6$, $3 imes6 = 18$, $6 imes1 = 6$, $1 imes8 = 8$,
证明：数字 $5$, $7$, $9$ 永远不会出现在这个数列中。
解答：
我们注意到需要证明的三个数字都是奇数，因此考虑奇偶分析。
我们先证明，在此数列中不可能连续出现两个奇数。
假设 $x$, $y$ 是两个连续出现的奇数，那么只有两种情况：
a. 存在另外两个连续出现的奇数 $a$, $b$, 使得 $a cdot b = overline{xy}$. （如：$5 imes7 = 35$）
b. 存在另外两个连续出现的奇数 $c$, $d$, 使得 $ccdot d = x$. （如：$1 imes 3 = 3$）
因此，如果连续出现了两个奇数 $x$, $y$，那么在这两个奇数之前一定还存在连续出现的两个奇数 $a$, $b$ 或 $c$, $d$.
由此倒推回去，这个数列前三项中必有两项是奇数。矛盾！（前三项为 $2$, $3$, $6$）
至此，我们证明了此数列中不可能连续出现两个奇数。
接下来，我们考虑数字 $9$. 因为不可能连续出现两个奇数，所以数字 $9$ 只能以 $overline{9z}$ 形式出现，即有两个一位数字之乘积不小于 $90$，这显然不可能。
因此，此数列中不会出现数字 $9$.
由于不能连续出现两个奇数，那么如果出现数字 $7$ 的话只能是 $8 imes9 = 72$（即不可能是 $1 imes7 = 7$, $3 imes9 = 27$），但是 $9$ 不会出现在数列中。
因此，此数列中也不会出现数字 $7$.
最后我们考虑数字 $5$。由于不能连续出现两个奇数，则数字 $5$ 只能出现于 $7 imes8 = 56$, $6 imes9 = 54$，而数字 $7$, $9$ 都不会出现在数列中。
因此，此数列中也不会出现数字 $5$.
Q$cdot$E$cdot$D
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
联系作者：zhaoyin.math@foxmail.com