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1. 一个两位数的数字和等于7, 如果每个数字加上2, 那么得到的数比原数的二倍小3, 求这个数.
解答:
设十位数字是 $x$, 则个位数字是 $7 - x$. 由题意有 $$2(10x + 7 - x) - 3 = 10(x + 2) + 7 - x + 2 Rightarrow x = 2.$$ 因此该两位数为 $25$.
2. 有一两位数, 除以它的各数位上的数的和, 得商6余3; 如把十位上的数与个位上的数对调后所得的新数, 除以它的各数位上的数的和, 得商4余9, 求此两位数.
解答:
设该两位数为 $overline{xy}$. 则由题意有 $$egin{cases}10x + y = 6(x + y) + 3\ 10y + x = 4(x + y) + 9end{cases} Rightarrow egin{cases}x = 7\ y = 5 end{cases}$$ 因此该两位数为 $75$.
3. 两个三位整数, 它们的和加1得1000, 如把较大数放在小数的左边, 点一个小数点在两数之间所成的数, 正好等于把小数放在大数的左边, 中点点一个小数点所成的数的6倍, 求这个两位数.
解答:
设较大数为 $x$, 则较小数为 $999-x$. 由题意有 $$x + {999-x over 1000} = 6left(999 -x + {x over 1000} ight) Rightarrow x = 857.$$ 因此较大数为 $857$, 较小数为 $142$.
4. 设有六位数 $overline{1abcde}$ 乘以3后, 变为 $overline{abcde1}$, 求这个数.
解答:
令 $overline{abcde} = x$, 则由题意有 $$3(100000 + x) = 10x + 1 Rightarrow 42857.$$ 因此该六位数为 $142857$.
5. 求一切正整数, 它的首位数是6, 去掉这个6, 所成的整数是原数的 $displaystyle{1over25}$.
解答:
设该正整数为 $N = 6 imes10^{n} + m$, 其中 $m$ 是 $n$ 位数, 且 $0 le m < 10^n$. 由题意有 $$6 imes10^{n} + m = 25m Rightarrow m = 2^{n-2} cdot 5^n$$ $$Rightarrow N = 6 imes 10^n + 2^{n-2} cdot 5^n = 600 imes 10^{n-2} + 25 imes 10^{n-2} = 625 imes 10^{n-2}.$$ 即所求正整数为 $625$, $6250$, $62500$, $cdotscdots$.