计数排序

　　前面提到的排序（选择排序、插入排序、归并排序、快速排序、堆排序等）都是比较排序。也就是说，以上排序实现的思路都是需要元素的比较才能实现。换一种思路，是不是元素排序必须需要数组内的元素之间的比较呢？其实不然，今天介绍的计数排序就不是利用比较，而是巧妙的利用了下标和元素的关系进行排序，把时间转换成空间，典型的时空变换思路。

　　在这个思想中，需要维护三个数组a[],b[],c[]，数组a是原始的输入数组，数组b是排序后需要输出的数组，数组c是计数数组。这就是所需要的空间。

　　首先，初始化计数数组c。那么到底我们需要维护一个多大的计数数组呢？这就要求我们必须知道原始输入数组中的最大值。开辟一个大小为原始输入的最大值的数组，并且c中每个元素都初始化为0。为什么要这么做呢。因为数组c的下标即为原始值，每个下标所对应的数值即为此数值的个数。例如c[5] = 10，就表示a中有10个5。

　　其次，就是对数组c中的数值进行修改。即c[a[i]]++。循环a中的所有元素，把每个c[a[i]]自增1。这个不难理解。就是统计每个元素的个数。

　　然后就是关键的第一步，c[i] = c[i] + c[i-1]。这句代码的意思就是，比原始值i小的数值个数是c[i]+ c[i-1]。这个开始有点绕，不妨这样想一下：c中第i个数就是原始i的个数，前面所有的(0到i-1)都是比i小的数，把他们都加起来就是所有比i小的数值的个数。这句话就是完成这么一个功能。为什么要实现这么一个功能呢？接下来就是关键的第二步，排序。

　　最后这一步排序其实已经很明白了。我已经知道比我小的数的个数了，那我就应该直接放在那些个数的后面一个不就完了？确实是这样。也就是b[c[a[i]] - 1] = a[i]（考虑到了数组下标为0所以减1）。正因为如此，简化了时间复杂度。这样其实还没有完，还有一个十分重要的步骤，那就是把所对应的c中的数值（计数个数）减一，因为你已经把一个 i 放进b里面了。

　　具体C++代码如下，已经在CB完美运行。

#include <iostream>
using namespace std;

int c[100];
void countingSort(int a[], int b[], int max, int len) {
    for(int i = 0; i <= max; ++i){
        c[i] = 0;
    }

    for(int i = 0; i != len; ++i){
        c[a[i]] = c[a[i]] + 1;
    }

    for(int i = 1; i <= max; ++i){
        c[i] = c[i] + c[i - 1];
        cout<<c[i]<<endl;
    }

    for(int i = len-1; i >= 0; --i){
        b[c[a[i]] - 1] = a[i];
        c[a[i]] = c[a[i]] - 1;
    }
}

int main() {
    int a[8] = {2,5,3,0,2,3,0,3};
    int b[8];
    int max = 5;
    int len = sizeof(a)/sizeof(int);
    countingSort(a, b, max, len);

    for(int i = 0; i < 8; ++i)
        cout<<b[i]<<" ";

    return 0;
}