力扣300题、674题、718题、1143题、1035题（子序列问题）

300、最长递增子序列

基本思想：

动态规划

具体实现：

1.dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的最长上升子序列的长度。

2.状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3.dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长上升子序列）起始大小至少都是1.

4.确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长升序子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是0到i-1，遍历i的循环里外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

5.举例推导

代码：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++){
                if (nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++){
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

二分搜索法：p101

674、最长连续递增序列

基本思想：

上题的基础上加上连续的条件

具体实现：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度为dp[i]。

一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2.确定递推公式

如果 nums[i + 1] > nums[i]，那么以 i+1 为结尾的数组的连续递增的子序列长度 一定等于 以i为结尾的数组的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i + 1] = dp[i] + 1;

注意与上一题的区别，本题要求的是连续递增子序列

所以就必要比较nums[i + 1]与nums[i]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i + 1] 和 nums[i]。

3.dp数组如何初始化

以下标i为结尾的数组的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

4.确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
    if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录
        dp[i + 1] = dp[i] + 1; // 递推公式
    }
}

5.举例推导dp数组

代码：

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        for (int i = 0; i < dp.length; i++){
            dp[i] = 1;
        }
        int res = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {
            if (nums[i + 1] > nums[i]) {
                dp[i + 1] = dp[i] + 1;
            }
            res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i+1]; 
        }
        return res;
    }
}

贪心

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return 0;
        int result = 1;
        int count = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++){
            if (nums[i + 1] > nums[i]){
                count++;
            } else {
                count = 1; 
            }
            if (count > result) result = count;
        }
        return result;
    }
}

718.最长重复子数组

基本思想：

题目中说的子数组，其实就是连续子序列。

具体操作：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。处理起来麻烦。

2.确定推导公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始

3.dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的

dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

4.确定遍历顺序

从前向后

5.举例推导

代码：

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int result = 0;
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        
        for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = Math.max(result, dp[i][j]);
                }
            }
        }
        
        return result;
    }
}

1143、最长公共子序列

基本思想：

与上一题的区别在于这里不要求是连续的

具体实现：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

2.确定递推公式

两种情况：

• text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同
  • 找到了一个公共元素，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;　　
• text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
  • 取text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列的最大值

3.dp数组如何初始化

test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列是0===》dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4.递推顺序

有三个方向可以推出dp[i][j]，

在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5.举例推导dp数组

代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
        for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
            char char1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j =1; j <= text2.length(); j++) {
                char char2 = text2.charAt(j - 1);
                if (char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

1035、不相交的线

基本思想：

绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

具体实现：

与上一题相同

代码：

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int [][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++){
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++){
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
}