力扣121题、122题、123题、188题、309题、714题（买卖股票，动态规划）

121、买卖股票的最佳时机I

基本思想：

贪心和动态规划

具体实现：

动态规划

1、dp数组含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 

一开始现金是0，第i天买入股票现金是-prices[i]，是一个负数

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

2、确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，由两个状态推出来,两个状态取最大

• 第i-1天就持有股票，保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金：dp[i-1][0]
• 第i天买入股票，所得现金是买入今天的股票后所得现金，即：-prices[i]

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，由两个状态推出来，两个状态取最大

• 第i-1天不持有股票，保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金：dp[i-1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，即：prices[i] + dp[i-1][0]

3、dp数组初始化

 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票现金就是0，dp[0][1] =0;

4、遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5、举例推导

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int length = prices.length;
        int[][] dp = new int[length][2];
        int result = 0;
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i],dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[length - 1][1];
    }
}

优化：

class Solution {
  public int maxProfit(int[] prices) {
    int[] dp = new int[2];
    dp[0] = -prices[0];
    dp[1] = 0;
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
      dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i]);
      dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i]);
    }
    return dp[1];
  }
}

贪心：

因为股票就买卖一次，

贪心的想法是取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // 找到一个最小的购入点
        int low = Integer.MAX_VALUE;
        // res不断更新，直到数组循环完毕
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(prices[i], low);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}

122、买卖股票的最佳时机II

基本思想：

动态规划问题上与上一题类似只有递推公式不同

具体实现：

dp数组含义：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] =  -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); 
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
         return dp[n - 1][1]; 
    }
}

优化：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[] dp = new int[2];
        dp[0] =  -prices[0];
        dp[1] = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++){
            dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i]); 
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i]);
        }
         return dp[1]; 
    }
}

123、买卖股票的最佳时机III

基本思想：

动态规划

具体实现：

1、确定dp数组以及下标的含义

五种状态：

0.没有操作

1.第一次买入

2.第一次卖出

3.第二次买入

4.第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

2、确定递推公式

达到dp[i][1]状态，由两个操作决定

• 第i天买入股票，dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天买入股票的状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]

达到dp[i][2]状态，由两个操作决定

• 第i天卖出股票，dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，dp[i][2]=dp[i-1][2]

达到dp[i][3]状态，由两个操作决定

• 第i天第二次买入股票，dp[i][3] = dp[i-1][3]-prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天买入股票的状态，dp[i][3]=dp[i-1][3]

达到dp[i][4]状态，由两个操作决定

• 第i天第二次卖出股票，dp[i][4] = dp[i-1][4]+prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，dp[i][4]=dp[i-1][4]

3、dp数组初始化

第0天没有操作，dp[0][0]=0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1]=-prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，dp[0][2] = 0;

第0天做第二次买入的操作，dp[0][3]=-prices[0];

第0天做第二次卖出的操作，dp[0][4]=0;

4、确定遍历顺序

从前向后遍历

5、举例

[1,2,3,4,5]

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (prices.length == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[len][5];
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i][3] + prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][4];
    }
}

优化：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (prices.length == 0) return 0;
        int[] dp = new int[5];
        dp[1] = -prices[0];
        dp[3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++){
            dp[1] = Math.max(dp[1], -prices[i]);
            dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
            dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
            dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
        }
        return dp[4];
    }
}

188、买卖股票的最佳时机IV

基本思想：

是上一题的进阶版，要求至多有K次交易，上一题是两次

具体实现：

1.确定dp数组定义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

除了0，偶数是卖出，奇数是买入

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，由两个操作决定

• 第i天买入股票，dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天买入股票的状态，dp[i][1] = dp[i - 1][1]

达到dp[i][2]状态，由两个操作决定

• 第i天卖出股票，dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i]
• 第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，dp[i][2]=dp[i-1][2]

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
      dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
      dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
 }

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，dp[0][0]=0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1]=-prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，dp[0][2] = 0;

第0天做第二次买入的操作，dp[0][3]=-prices[0];

第0天做第二次卖出的操作，dp[0][4]=0;

for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
    dp[0][j] = -prices[0];
}

4.遍历顺序

从前向后

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];

        for(int i = 1; i < k * 2; i += 2){
            dp[0][i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }
}

优化：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        int len = prices.length;
        int[] dp = new int[k*2 + 1];

        for(int i = 1; i < k * 2; i += 2){
            dp[i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[j + 1] = Math.max(dp[j + 1], dp[j] - prices[i]);
                dp[j + 2] = Math.max(dp[j + 2], dp[j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[k*2];
    }
}

309、最佳买卖时机含冷冻期

基本思想：

在122题上加入了冷冻期

具体实现：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

• 状态1：持有股票状态
  • 　　今天买入
  • 之前买入后没有操作
• 不持有股票状态
  • 状态2：两天以前卖出股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
  • 状态3：今天卖出了股票
• 状态4：今天为冷冻期状态，冷冻期状态不可持续，只有一天

2.确定递推公式

达到状态1，即dp[i][0]，有两个具体操作

• 操作1：前一天就是持有股票状态（状态1），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作2：今天买入，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态4），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是不持有状态（状态2），dp[i - 1][1] - prices[i]

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);

达到状态2，即dp[i][1]，有两个具体操作

• 操作1：前一天就是状态2
• 操作2：前一天是冷冻期（状态4）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到状态3，即dp[i][2] ，只有一个操作

• 操作1：昨天一定是持有股票状态（状态1），今天卖出

dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到状态4，即dp[i][3]，只有一个操作

• 操作1：昨天卖出了股票（状态3）

p[i][3] = dp[i - 1][2];

最后结果去是 状态2，状态3，和状态4的最大值，状态4是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

3.初始化数组

第0天如何初始化

如果是持有股票状态（状态1）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所省现金为负数。

保持卖出股票状态（状态2），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行，

今天卖出了股票（状态3），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。

同理dp[0][3]也初始为0。

4.确定遍历顺序

从前向后

5.举例推导

 代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        if (n == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[n][4];
        dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
         return Math.max(dp[n - 1][3],Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));

    }
}

714、买卖股票的最佳时机含手续费

基本思想：

在112题的基础上加上手续费

具体实现：

dp[i][0] 表示第i天持有股票所剩最多现金。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 可以由两个状态推出来

• 第i-1天持有股票，保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 可以由两个状态推出来

• 第i-1天不持有股票，保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i -1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }
        return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
    }
}