力扣518题、377题、70题（完全背包、排列组合）

518、零钱问题II

基本思路：

钱币数量不限----完全背包问题

纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的方法个数

具体实现：

1、确认状态：

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2、状态转移：

如果不使用coins[i]这个面值的硬币，就继承上面几种硬币的凑法

dp[i][j] = dp[i-1][j]

如果使用coins[i]这个面值的硬币，dp[i][j]=上面几种硬币的凑法dp[i-1][j]+新硬币加进来，剩余金额的凑法dp[i][j-coins[i-1]]

优化：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3、初始状态：

dp[0] = 1

从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。

4、遍历顺序：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

5、举例

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

代码：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n = len(coins)
        dp = [[0]*(amount+1) for _ in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = 1
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,amount+1):
                if j-coins[i-1]>=0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i-1]]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
        return dp[n][amount]

状态压缩

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++){
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

377、组合总和IV

基本思想：

数组中的数可以随便取-----完全背包

顺序不同的序列被视作不同的组合------排列

具体实现：

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]是凑成目标正整数为i的排列个数

2、确定递推公式

dp[i] += dp[i - nums[j]

3、dp数组初始化

dp[0]要初始化为1，这样递推其他dp[i]的时候才会有数值基础。

dp[0] = 1 没有意义

非0下标的dp[i]初始化为0

4、确定遍历顺序

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5、举例

代码：

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++){
            for (int j = 0; j < nums.length; j++){
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

70、爬楼梯进阶版

原题为每次只可以爬 1 或 2 个台阶。

改为一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

基本思想：

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。-----完全背包

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

具体实现：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2.递推公式

dp[i] += dp[i - nums[j]];

3.初始化

dp[0] = 1,其余元素都为0

4.确定遍历顺序

这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样

需将target（容量）放在外循环，将nums（物品）放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

代码：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        int[] weight = {1,2};
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
                if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];
            }
        }

        return dp[n];
    }
}