题解 P5835 【 USACO19DEC Meetings S】

有两个牛棚位于一维数轴上的点 $0$ 和 $L$ 处。同时有 $N$ 头奶牛位于数轴上不同的位置（将牛棚和奶牛看作点）。每头奶牛 $i$ 初始时位于某个位置 $x_i$ ，并朝着正向或负向以一个单位每秒的速度移动，用一个等于 11 或 -1−1 的整数 d_i 表示。每头奶牛还拥有一个在范围 $[1,10^3]$ 内的重量。所有奶牛始终以恒定的速度移动，直到以下事件之一发生：

• 如果奶牛 $i$ 移动到了一个牛棚，则奶牛 $i$ 停止移动。
• 当奶牛 $i$ 和 $j$ 占据了相同的点的时候，并且这一点不是一个牛棚，则发生了相遇。此时，奶牛 $i$ 被赋予奶牛 $j$ 先前的速度，反之亦然。注意奶牛可能在一个非整数点相遇。

令 $T$ 等于停止移动的奶牛（由于到达两个牛棚之一）的重量之和至少等于所有奶牛的重量之和的一半的最早时刻。请求出在时刻 $0 ldots T$（包括时刻 $T$）之间发生的奶牛对相遇的总数。

前言

这道题目是道好题，想通了之后就可以把轻松这道题做出来。

正文

结论

先把一个结论写出来。

无论所有奶牛怎么走，它们的体重从左往右组成的序列是不会发生改变的。

这个结论简单地说明一下。

1. 首先我们可以把 $2$ 头牛相遇看成 $2$ 头牛走的方向不变，只是交换了体重。

2. 如果这些奶牛的体重从左往右组成的序列发生改变，一定是 $2$ 头牛相向而行，然后发生序列变化。但是现在我们可以把交换体重看做如果序列发生变化，就将 $2$ 数交换，不让序列发生改变。

分析

二分·时间

有了这个性质，就好办了。

我们发现时间是有单调性的，然后我们就可以二分时间。

int ll=0,rr=INT_MIN>>1;
while(ll+1<rr){
	int mid=(ll+rr)>>1;
	if(check(mid))rr=mid;
	else ll=mid;
}

至于 $check$ 怎么写呢？

我们先要把 $a$ 数组是 按位置从小到大排序。

sort(a+1,a+n+1,cmp);

$cmp$：

bool cmp(node x,node y){
	return x.x<y.x;
}

先放一下代码。

bool check(int x){
    int llll=1,rrrr=n,s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(a[i].d==1)s+=a[i].x+x>=l?a[rrrr--].w:0;//如果能到，重量就是a[rr--].w
    	else s+=a[i].x-x<=0?a[llll++].w:0;//如果能到，重量就是a[ll++].w
    return s*2>=sm;
}

其实就是

bool check(int x){
    int ll=1,rr=n,s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(a[i].d==1){
    		if(a[i].x+x>=l)s+=a[rr--].w;//如果能到，重量就是a[rr--].w
    	}else{
    		if(a[i].x-x<=0)s+=a[ll++].w;//如果能到，重量就是a[ll++].w
    	}
    return s*2>=sm;
}

解释一下，有人可能会

问：

程序里的体重不一定对啊？

答：

最后的体重显然是

$sumlimits_{i=1}^{k1} w_{i}+sumlimits_{i=k2}^{n} w_{i}$

因为最后到达牛棚的，一定是达到 $0$ 的若干个，到达 $L$ 的若干个，再联系一下上面的性质，就显然是这个式子了。当然我们的 $a$ 数组是 按位置从小到大排序的。

二分·查找

我们知道了时间，距离 $AC$ 还需要找到奶牛相遇的对数的总数。

现在，我们的 $a$ 数组已经按位置从小到大排序了。

我们从左往右扫过去，我们知道，相遇的对数 $=$ 往左走的奶牛所碰到往右走的奶牛的数量之和。

那么碰到的往右走的奶牛的数量之和，我们可以用二分来统计。

for(int i=1;i<=n;i++){
	if(a[i].d==-1){//向左走
		int xx=a[i].x-rr*2;//这里注意速度是1+1=2
		int lll=0,rrr=k+1;//二分，注意边界
		while(lll+1<rrr){
			int mid=(lll+rrr)>>1;
			if(f[mid]>=xx)rrr=mid;
			else lll=mid;
		}
		ans+=k-rrr+1;
	}else{
		f[++k]=a[i].x;
	}
}

这里的二分是在找能与这头向左走的牛相遇的最左边的牛。

这里的 $f$ 数组是记录向右走的牛。

总代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
const int MAXN=5e4+10;
struct node{
	int w,x,d;
}a[MAXN];
int n,l,sm,f[MAXN],k,ans;
bool cmp(node x,node y){
	return x.x<y.x;
}
bool check(int x){
    int ll=1,rr=n,s=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	if(a[i].d==1)s+=a[i].x+x>=l?a[rr--].w:0;
    	else s+=a[i].x-x<=0?a[ll++].w:0;
    return s*2>=sm;
}
int main(){
	read(n);read(l);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i].w),read(a[i].x),read(a[i].d),sm+=a[i].w;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int ll=0,rr=INT_MAX>>1;
	while(ll+1<rr){
		int mid=(ll+rr)>>1;
		if(check(mid))rr=mid;
		else ll=mid;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i].d==-1){
			int xx=a[i].x-rr*2;
			int lll=0,rrr=k+1;
			while(lll+1<rrr){
				int mid=(lll+rrr)>>1;
				if(f[mid]>=xx)rrr=mid;
				else lll=mid;
			}
			ans+=k-rrr+1;
		}else{
			f[++k]=a[i].x;
		}
	}cout<<ans;
	return 0;
}

后记

总体来讲，这道题目细节比较多，思维难度也比较高。

所以，如作者有错误请在评论区指出，谢谢。