安全逃离的题解

也农夫john最近在研究如果发生重大事故，如何让农场里的奶牛逃离问题。他想要确信在紧急情况下，所有的奶牛都有一个安全逃离方案。因为在紧急情况下，奶牛们都会失去观察和判断能力，所以最近john一直在教奶牛们逃离的方法，他的方法很简单，就是任何时候都只向北方或东方逃离，北方是行坐标减1的方向，东方是列坐标加1的方向。奶牛们虽笨，不过这一点事关自己的生命，所以他们牢记在心，而且也一定会这么做。
当然也会出问题，奶牛们在逃离的方向上会横冲直撞，为了阻止奶牛之间互相冲撞造成伤害，john要求任何一个奶牛的逃离路线不能经过其它奶牛的初始位置。一个逃离方案是安全的如果它能够满足上面的要求，反之它就是不安全的。
奶牛们所在的土地（农场）被划分成了r行和c列的一个矩形地图。奶牛们都待在这个矩形中的某一个位置。
请帮助john确定给定的一个地图上是否存在一个安全的逃离方案。
比如，下面的两个图：
左边的例子表示了一个能够安全逃离的地图，因为没有任何一个奶牛的逃离路线上包括其他奶牛。右边的例子表示了一个不安全的地图，因为位于(4,1)的奶牛不论是向东逃离还是向北逃离，它的路线上都会有别的奶牛，从这个图中拿掉任意一头奶牛，这个地图都会变成安全的。

      安全               不安全
  | | | | C--         C . . . . . 
  | | | | C--         ^ . . . . . 
  | C | | C--         | . . . . . 
  C C-+-+----         C------>C . 
  . . C C C--         . . . . . . 

C表示奶牛，直线表示逃离路线

错点

蒟蒻向老师报告题目有问题后没有认真看题，结果就死了。

分析

做到这道题的时候，我们考到数据范围很小，考虑高复杂度的做法。

我的做法是最暴力的做法，复杂度大概是 $O(cr^2 imes + rc^2 imes n)$，面对这么小的这么小的数据，这个做法显然能过。

我们先写一个 $check$ 函数，判断此时的矩阵是否安全。

bool check(){
    for(int i=1;i<=r;++)
        for(int j=1;j<=c;j++)
            if(a[i][j]){//此点有牛
                int s=0;
                for(int l=1;l<=i;l++)
                    if(a[l][j]){
                        s++;
                        break;
                    }
                for(int l=j;l<=n;l++)
                    if(a[i][l]){
                        s++;
                        break;
                    }
                if(s==2)return false;//如果有牛上面和右面都被堵死了，这个矩阵显然是不安全的
            }
    return true;
}

当然还有更快速地写法啦

bool save(){
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int flag=0;
		for(int l=x[i]-1;l>=1;l--)
			if(a[l][y[i]]){
				flag++;
				break;
			}
		for(int l=y[i]+1;l<=n;l++)
			if(a[x[i]][l]){
				flag++;
				break;
			}
		if(flag==2)return false;
	}
	return true;
}

我们再写一个函数去枚举移掉哪头牛

void work(){
	int f=1;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		a[x[i]][y[i]]--;
		if(save()){//如果安全
			f=0;
			write(i);//输出
			puts("");
		}
		a[x[i]][y[i]]++;
	}if(f)puts("-1");//无解
}

总代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
const int MAXN=50+10,MAXK=100+10;
int a[MAXN][MAXN],n,m,k,x[MAXK],y[MAXK];
bool save(){
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int flag=0;
		for(int l=x[i]-1;l>=1;l--)
			if(a[l][y[i]]){
				flag++;
				break;
			}
		for(int l=y[i]+1;l<=n;l++)
			if(a[x[i]][l]){
				flag++;
				break;
			}
		if(flag==2)return false;
	}
	return true;
}
void work(){
	int f=1;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		a[x[i]][y[i]]--;//移除
		if(save()){
			f=0;
			write(i);
			puts("");
		}
		a[x[i]][y[i]]++;//注意回溯
	}if(f)puts("-1");
}
int main(){
	read(n);read(m);read(k);
	for(int i=1;i<=k;i++){
		read(x[i]);read(y[i]);
		a[x[i]][y[i]]++;
	}
	if(save())puts("0");
	else work();
	return 0;
}