题解 P2257 【YY的GCD】

神犇 YY 虐完数论后给傻× kAc 出了一题

给定 $N, M$ 求 $1 leq x leq N$，$1 leq y leq M$ 且 $gcd(x, y)$ 为质数的 $(x, y)$ 有多少对。

$egin{aligned} &sum_{pin prim}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=p] \ =& sum_{pin prim}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{p} floor}[gcd(i,j)=1]\ =& sum_{pin prim}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{p} floor}varepsilon(gcd(i,j)=1)\ =& sum_{pin prim}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{p} floor}varepsilon(gcd(i,j))\ =& sum_{pin prim}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{p} floor} sum_{dmid gcd(i,j)} mu(d)\ =&sum_{pin prim}sum_{pmid d} mu(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{p} floor}[dmid i]sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{p} floor}[dmid j]\ =&sum_{pin prim}sum_{pmid d} mu(d) lfloor frac{n}{kd} floor frac{m}{kd} floor\ end{aligned}$
设：

$f(p)=sumlimits_{pmid d} mu(d)$

则原式化为：

$egin{aligned} =&sum_{pin prim} f(p) imes lfloor frac{n}{kd} floor frac{m}{kd} floor\end{aligned}$

我们先去预处理 $f$ 函数

for(int i=1;i<=cnt;i++)
	for(int j=1;j*prim[i]<N;j++)
		f[j*prim[i]]+=mu[j];

就是这里的 $f$ 数组。

之后我们就可以求解了。

我们可以使用数论分块来写这题。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
const int N=1e7+10;
int prim[N],mu[N],sum[N],cnt,k,T,f[N];
bool vis[N];
void init(){
	mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			mu[i]=-1;
			prim[++cnt]=i;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prim[j]<N;j++){
			vis[i*prim[j]]=1;
			if(i%prim[j]==0)break;
			mu[i*prim[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		for(int j=1;j*prim[i]<N;j++)
			f[j*prim[i]]+=mu[j];
	for(register int i=1;i<N;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}//莫比乌斯反演的板子
ll calc(int a,int b){
	ll ans=0;
	for(register int l=1,r;l<=min(a,b);l=r+1){
		r=min(a/(a/l),b/(b/l));
		ans+=(1ll*a/l)*(1ll*b/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	init();
	for(read(T);T--;){
		int x,y;
		read(x);read(y);
		printf("%lld
",calc(x,y));
	}
	return 0;
}