hlg1492盒子【最小路径覆盖】

大意：有n个盒子，告诉你一些嵌套关系，比如a能放到b里  c能放到a里

问最少使多少盒子露在外面

分析：这里要求的是最少DAG的数量，也就是传说中的最小路径覆盖问题

最小路径覆盖：

公式：最小路径覆盖 = 节点个数 - 最大匹配

这儿有一篇关于其解释，

首先给出公式:DAG的最小路径覆盖数=DAG图中的节点数-相应二分图中的最大匹配数.

那么对应一个DAG,如何构造相应的二分图?对于DAG中的一个顶点p,二分图中有两个顶点p和p',对应DAG中的一条有向边p->q,二分图中有p-q'的一条无向边.二分图中p属于S集合,p'属于T集合.

下面我们来解释上面公式为什么成立,思路参考baihacker神牛:

上图中,对应左边的DAG建立构造右边的二分图,可以找到二分图的一个最大匹配M:1-3',3-4',那么M中的这两条匹配边怎样对应DAG中的路径的边?

使二分图中一条边对应DAG中的一条有向边,1-3'对应DAG图中的有向边1->3,这样DAG中1就会有一个后继顶点(3会是1的唯一后继,因为二分图中一个顶点至多关联一条边!),所以1不会成为DAG中一条路径中的结尾顶点,同样,3-4'对应DAG中3->4,3也不会成为结尾顶点,那么原图中总共4个顶点,减去2个有后继的顶点,就剩下没有后继的顶点,即DAG路径的结尾顶点,而每个结尾顶点正好对应DAG中的一条路径,二分图中寻找最大匹配M,就是找到了对应DAG中的非路径结尾顶点的最大数目,那么DAG中顶点数-|M|就是DAG中结尾顶点的最小数目,即DAG的最小路径覆盖数.

 

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 505;

struct Node {
    int to;
    int next;
}p[maxn * maxn];
int head[maxn * maxn];
int tot;
void AddEdge(int u, int v) {
    p[tot].to = v;
    p[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

int Link[maxn];
int vis[maxn];

bool Find(int u) {
    for(int i = head[u]; i; i = p[i].next) {
        int v = p[i].to;
        if(!vis[v]) {
            vis[v] = 1;
            if(Link[v] == -1 || Find(Link[v])) {
                Link[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int solve(int n) {
    int cnt = 0;
    memset(Link, -1, sizeof(Link));
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if(Find(i)) {
            cnt++;
        }
    }
    return cnt;
}

int main() {
    int n, m;
    int u, v;
    while(EOF != scanf("%d %d",&n, &m)) {
        memset(head, 0, sizeof(head));
        tot = 1;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            scanf("%d %d",&u, &v);
            AddEdge(u, v);
        }
        printf("%d
",n - solve(n));
    }
    return 0;
}