题目描述：
给一个椭圆，上面有n个点，两两连接这n个点，得到的线段能把椭圆分为几个区域？
思路：
首先想想，n个点在椭圆边缘，每两个点两两连接有(C^2_n)条线段，这些线段交于很多点，求这些线段最多把椭圆分成几个部分。
考虑到欧拉公式：在平面图中(V-E+F=2)，(V)为顶点数，(E)是边数，(F)是面数。我们要求的是(F)，只要求(E)与(V)就行了。那么怎么求(V)呢？
考虑每一个顶点，以这个顶点为基础，不断向其他点发出对角线，在对角线左边的点是(i)，右边的便是(n-2-i)个点，将左边的点与右边的点相互连接，便会与这条对角线相交，交点有(i(n-2-i))个，但是由于对每个点都枚举，这样会重复计算。重复计算了几次呢？我们知道，要产生一个交点需要两条线段，也就需要四个顶点，也就是说，遍历所有顶点后，对这一个交点事实上我们重复了四次，因为有四个顶点贡献了它。同理，边重复计算了两次。因此：(V=n+frac{n}{4}sum_{i=0}^{n-2}i(n-2-i))，(E=n+frac{n}{2}sum_{i=0}^{n-2}(i(n-2-i)+1))。
所以椭圆内的面有$F=E-V+2-1=frac{n}{4}sum_{i=0}^{n-2}i(n-2-i)+frac{n(n-1)}{2}+1=frac{n(n-3)(n-2)(n-1)}{24}+frac{n(n-1)}{2}+1 $。
由于(sum_{i=1}^n i(n+1-i)=frac{n(n+1)(n+2)}{6})
证明：
(n=1)时公式成立，假设n=k时也成立
(a_k=1*k+2*(k-1)+...+k*1)
(n=k+1)时，
(a_{k+1}=1*(k+1)+2*k+...+(k+1)*1)
(a_{k+1}-a{k}=1+2+...+k+1=frac{(k+2)(k+1)}{2})，(a_{k+1}=a_k+frac{(k+2)(k+1)}{2}=frac{n(n+1)(n+2)}{6}+frac{(k+2)(k+1)}{2}=frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}).
证毕
注意如果找规律，1,2,4,8,16当n等于6时为31就不对了。
顺便说一下：
n个顶点形成的图要边数最大，就要形成完全图，完全图的边数为(frac{n(n-1)}{2})
参考文章：
weijifen000，UVa10213 多少块土地，https://blog.csdn.net/weijifen000/article/details/82709741