同学们在初等数学已经知道有限个实数
$$u_{1},u_{2},cdots,u_{n}$$
之和仍为实数。这一节课，我们将讨论无穷个实数
$$u_{1},u_{2},cdots,u_{n},cdots$$
之和可能出现的情形与特征。实际上，无穷个实数相加的问题，在古代就有涉及，但是关于它们的系统严格的研究则是近代的事情了。
我们举几个古代的例子：
例 1：《庄子$cdot$天下篇》有句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。棰是古代的一种度量工具，这句话的意思是一尺的棰每天取其一半永远也取不完。这就涉及
$$frac{1}{2}+frac{1}{2^{2}}+cdots+frac{1}{2^{n}}+cdots$$
例 2：
我国古代数学家刘徽的割圆术说"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。"用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积，当增加边数时，正多边形的面积就和圆的面积进一步接近，不断的增加边数，面积就会不断增加，直到和圆的面积相等（圆视为极限意义下的正无穷多边形了）。我们设圆的面积为$s$,
初始正多边形的面积为$s_{0}$,每个一次面积增加为$s_{i}, i=1,2,3cdots$, 那么
$$s=s_{0}+s_{1}+s_{2}+cdots+s_{n}+cdots$$
例 3：
古希腊哲学家芝诺的著名的“芝诺悖论”：古希腊的英雄阿基里斯追乌龟的故事，芝诺说阿基里斯永远追不上乌龟，原因是当阿基里斯在乌龟后面追乌龟时必须要先经过乌龟所在的第一个位置，从阿基里斯的位置到乌龟的第一个位置需要耗费时间，那么此时乌龟在这段时间就到达第二个位置，然后依次重复，阿基里斯总是落后乌龟一个位置，因此阿基里斯永远追不上乌龟了。我们学完本节后就可以知道这个“悖论”的荒谬之处。
我们设阿基里斯从第$i$个位置到第$i+1$个位置（乌龟的第$i$个位置）追乌龟的时间为$t_{i}$, 那么阿基里斯追乌龟所用的总时间为
$$t=t_{1}+t_{2}+t_{3}+cdots+t_{n}+cdots$$
以上三例均为无穷多个实数相加的实例，由于古人没有关于极限、级数的系统理论，上述思想都是初等朴素的。为了进一步说明建立无穷多个实数相加的严格数学理论的必要性，我们再举几个例子已说明无穷个实数相加与有限个实数相加的本质不同之处:
例 4：无穷多个实数
$$1+(-1)+1+(-1)+cdots$$
我们假设无穷多个实数的相加仍满足有限实数相加的代数规律（如交换律、结合律、分配律）则有
(i) 若从第一项开始两项两项结合在一起则
$$s=(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots=0$$
(ii) 若从第二项开始两项两项结合在一起则
$$s=1+(-1+1)+(-1+1)+cdots+=1$$
(ii) 利用分配律
$$s=1+(-1)+1+(-1)+cdots=1-(1+(-1)+1+(-1)+cdots)=1-s$$
因此$s=frac{1}{2}$
从上面的例子来看，无穷多个实数的加法与有限个实数的加法有本质区别，我们必须做一些定义或限制，保证计算结果存在唯一。
定义 1： 给定一个序列${u_{n}}$，用加号$+$依次将各项连接起来
$$u_{1}+u_{2}+cdots+u_{n}+cdots$$
我们称上式为无穷级数或简称为级数，用求和符号简写为$sum_{n=1}^{infty}u_{n}$或$sum u_{n}$（当上下限明确时）.
定义 2： 我们称
$$s_{n}=u_{1}+u_{2}+cdots+u_{n}$$
为级数$sum_{1}^{infty}u_{n}$的部分和。
定义 3: 若数列${s_{n}}$收敛到$s$，称级数$sum_{n=1}^{infty}u_{n}$收敛,且
$$sum_{n=1}^{infty}u_{n}=s$$
否则称级数$sum_{1}^{infty}u_{n}$发散。
举例：
例 5: 判断几何级数
$$a+aq+aq^{2}+cdots+aq^{n}+cdots$$
的敛散性。
例 6 ：讨论级数
$$frac{1}{1cdot 2}+frac{1}{2cdot 3}+frac{1}{3cdot 4}+cdots+frac{1}{n(n+1)}+cdots$$
的敛散性。
解：级数的部分和为
egin{align*}
s_{n}&=frac{1}{1cdot 2}+frac{1}{2cdot 3}+frac{1}{3cdot 4}+cdots+frac{1}{n(n+1)}\
&=left(1-frac{1}{2}
ight)+left(frac{1}{2}-frac{1}{3}
ight)+cdots+left(frac{1}{n}-frac{1}{n+1}
ight)\
&=1+left(-frac{1}{2}+frac{1}{2}
ight)+left(-frac{1}{3}+frac{1}{3}
ight)+cdots+left(-frac{1}{n}+frac{1}{n}
ight)-frac{1}{n+1}\
&=1-frac{1}{n+1}
end{align*}
于是
$$sum_{n=1}^{infty} u_{n}=lim_{n o infty}s_{n}=1$$
注：有同学会问$s_{n}$中的第二个和第三个等式为什么可以去掉括号再重新加上呢。这是因为部分和$s_{n}$是有限个实数相加而不是无穷个。
根据定义3，我们可以得到无穷级数的一些性质。
性质 1 ：若级数$sum u_{n}$收敛到$u$，级数$sum v_{n}$收敛到$v$,
那么$alpha,eta in mathbb{R}$级数$sum alpha u_{n}+eta
v_{n}$收敛到$alpha u+eta v$.
性质 2 : 若级数$sum u_{n}$收敛，级数$sum v_{n}$发散，那么$alpha,eta in mathbb{R}，eta
eq 0$级数$sum alpha u_{n}+eta v_{n}$发散。
根据定义3，判断级数的收敛性问题，实际上可以通过判断数列${s_{n}}$的敛散性来完成。
定理 1：（级数收敛的Cauchy准则）级数$sum_{n=1}^{infty}$收敛的充要条件是：$forall varepsilon >0,exists N(varepsilon)$,当 $n,m>N(varepsilon)$时有
$$|u_{n+1}+u_{n+2}+cdots+u_{m}|<varepsilon$$
其否命题(将存在改成任意，任意改成存在):级数$sum u_{n}$发散的充要条件是 $exists varepsilon_{0}>0,forall N$都存在$n,m>N$使得
$$|u_{n+1}+u_{n+2}+cdots+u_{m}|geq varepsilon_{0}$$
例 7：讨论调和级数
$$1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots+frac{1}{n}+cdots$$
的敛散性.
例 8： 判断级数$frac{1}{n^{2}}$的敛散性。
注：Cauchy收敛准则是判断敛散性最重要的方法，但有时并不是最简捷的。我们称$u_{n}>0$的级数为正项级数，对这类级数，根据Cauchy收敛准则或者定义3我们下节课将建立更易用的判别准则。
现在我们可以解决所谓的“芝诺悖论”了，“芝诺悖论”的荒谬之处正是把有限的时间分成无穷多份给人造成假象。例4的级数按部分和定义则是发散的。（本节课完）