中国科学院大学
2017 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数
考生须知：
1. 本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟；
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1. (15分)证明:实系数多项式$f(x)$对所有实数$x$均有$f(x)geq 0$,求证$f(x)$可以写成两实系数多项式的平方和$[g(x)]^2+[h(x)]^2$.
2. (15分) $f_i,i=1,cdots,m,m<n$是$n$维线性空间$V$上$m$个线性函数,即$f_i(aalpha+beta)=af_i(alpha)+bf_i(eta)$.证明存在一非零向量$alphain V$,使得$f_i(alpha)=0$.
3. (20分) 求[
left|egin{matrix}
1-a_1& a_2& & & \
-1& 1-a_2& a_3& & \
& ddots& ddots& ddots& \
& & ddots& ddots& a_n\
& & & -1& 1-a_n\
end{matrix}
ight|
.]
4. (20分) $f(x)=x'Ax$是实二次型,存在$x_1
eq x_2$使得$f(x_1)+f(x_2)=0$,证明存在$x_3
eq 0$,成立$f(x_3)= 0$.
5. (15分) 已知$A$为$n$阶幂等矩阵,即$A^2=A$.
(1) 证明$A$的Jordan标准型是$left(egin{matrix}
E_r& 0\
0& 0\
end{matrix}
ight)$,其中$r=mathrm{r} (A)$;
(2) $mathcal{R}(E_n-A)=mathcal{N}(A)$,其中$mathcal{R}(B)$是$B$的列向量张成的线性空间, $mathcal{N}(B)$为$B$的解空间,即$mathcal{N}(B)={x:Bx=0}$.
6. (15分) 已知$A$为$n$阶可逆的反对称矩阵, $B=left(egin{matrix}
A& v\
v'& 0\
end{matrix}
ight)$,其中$v$为$n$维列向量,求$\mathrm{r}(B)$.
7. (15分)设[
left(egin{array}{c}
x_{3n}\
x_{3n+1}\
x_{3n+2}\
end{array}
ight)=left(egin{matrix}
3& -2& 1\
4& -1& 0\
4& -3& 2\
end{matrix}
ight)left(egin{array}{c}
x_{3n-3}\
x_{3n-2}\
x_{3n-1}\
end{array}
ight)
.]给定初值$a_0=5,a_1=7,a_2=8$,求$x_n$的通项.
8. (18分) $n$维线性空间$V$有两子空间$U_1$和$U_2$,维数$dim U_1leq m,dim U_2leq m,m<n$.证明$V$中存在子空间$W$,且$dim W=n- m$,满足$Wcap U_1=Wcap U_2={0}$.
9. (17分)设$A$是$n$阶实对称矩阵,且[
A=left(egin{matrix}
a_1& b_1& & & \
b_1& a_2& b_2& & \
& b_2& ddots& ddots& \
& & ddots& ddots& b_{n-1}\
& & & b_{n-1}& a_n\
end{matrix}
ight)
.]
(1) 证明$mathrm{r} (A)geq n-1$;
(2) 证明$A$的特征值各不相同.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37139