1.$(15')$
[x_1=x_2=1,x_n=x_{n-1}+x_{n-2}.]
试用矩阵论方法给出$x_n$通项.
2.$(15')$
$alpha,eta$为欧氏空间$V$中两个长度相等的向量.证明存在正交变换$A$使得$Aalpha=eta$
3.$(10')$证明$n$阶$mathrm{Hermite}$矩阵$A$有$n$个实特征值(考虑重数).
4.$(20')$.$F$为数域
[alpha_1,alpha_2cdots alpha_n,eta_1,eta_2,cdots eta_n]
是$F^n$中$2n$个列向量.
用[left|alpha_1,cdots alpha_n
ight|]表示以$alpha_1,alpha_2cdots alpha_n$为列向量的矩阵的行列式.证明下面的行列式等式
[left|alpha_1,cdots alpha_n
ight|cdot left|eta_1,cdots
eta_n
ight|=sum_{i=1}^n left|alpha_1,cdots
alpha_{i-1},eta_1,alpha_{i+1},cdots alpha_n
ight|cdot
left|alpha_i, eta_2,cdots eta_n
ight|]
5.$(20')$
$F$为数域,$V$是$F$上$n$维线性空间.$A$是$V$上线性变换.证明存在唯一可对角化线性变换$A_1$,幂零线性变换$A_2$
使得
[A=A_1+A_2,A_1A_2=A_2A_1]
6.$(20')$
$F$为数域,$A,B,Pin M_n(F)$,$P$幂零且
[(A-B)P=P(A-B),BP-PB=2(A-B)]
求一个可逆矩阵$Q$使得$AQ=QB$.
7.$(15')$. $vec{a},vec{b},vec{c}$共面的充要条件为$vec{a} imes vec{b},
vec{b} imes vec{c},vec{c} imes vec{a}$共面
8.$(20')$空间中四点$O,A,B,C$使得
[angle AOB=frac{pi}{2},angle BOC=frac{pi}{3},angle COA=frac{pi}{4}]
设$AOB$决定的平面为$pi_1$,$BOC$决定的平面为$pi_2$,求$pi_1,pi_2$二面角.求出二面角的余弦值即可.
9.$(15')$
$F$为单叶双曲面,$overrightarrow{n}$为给定非零向量.
则空间中所有与$overrightarrow{n}$垂直的平面与$F$交线的对称中心在一条直线上
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37137