设 $f$ 的正惯性指数为 $r$, 负惯性指数为 $s$, 则存在满秩线性替换 $$eelabel{487:4:eq1} y_i=d_{i1}x_1+cdots +d_{in}x_n,quad 1leq ileq n eee$$ 使得 $$eelabel{487:4:eq2} ea f&=l_1^2+l_2^2+cdots+l_p^2 -l_{p+1}^2-cdots-l_{p+q}^2\ & =y_1^2+cdots+y_r^2 -y_{r+1}^2 -cdots-y_{r+s}^2. eea eee$$ 往证 $rleq p$ ($sleq q$ 可类似证得). 用反证法. 若 $r>p$, 考虑线性方程组 $$eelabel{487:4:eq3} seddm{ c_{11}x_1+cdots+c_{1n}x_n=0\ cdotscdotscdotscdotscdots\ c_{p1}x_1+cdots+c_{pn}x_n=0\ d_{r+1,1}x_1+cdots+d_{r+1,n}x_n=0\ cdotscdotscdotscdotscdots\ d_{n1}x_1+cdots+d_{nn}x_n=0 }. eee$$ 其 (未知数个数为 $n$, 而方程个数为 $p+(n-r)<n$) 有非零解 $(k_1,cdots,k_n)$. 代入 (2), 得 $$ex f=-l_{p+1}^2-cdots-l_{p+q}^2 =y_1^2+cdots+y_r^2. eex$$ 因此, $$eelabel{487:4:eq4} l_{p+1}=cdots=l_{p+q}=y_1=cdots=y_r=0. eee$$ 结合 eqref{487:4:eq3}-eqref{487:4:eq4} 的后半部分知 $$ex seddm{ d_{11}k_1+cdots+d_{1n}k_n=0\ cdotscdotscdotscdotscdots\ d_{r1}k_1+cdots+d_{rn}k_n=0\ d_{r+1,1}k_1+cdots+d_{r+1,n}k_n=0\ cdotscdotscdotscdotscdots\ d_{n1}k_1+cdots+d_{nn}k_n=0 }. eex$$ 因为 $k_1,cdots,k_n$ 不全为零, 而其系数行列式等于零. 这与 $eqref{487:4:eq1}$ 为满秩线性替换矛盾. 故有结论.