1.证明题(30分,每小题15分)
(1) 若$f(x)$在实轴上可导且$f'(x)>f(x),forall xin (-infty,infty)$,则$f(x)$至多有一个零点.
(2) 若$f(x)$处处二阶可导且$f''(x)>f(x),forall xin (-infty,infty)$,则$f(x)$至多有两个零点.
2.(30分)假设$phi(x,y,z)$是原点$O$某个邻域上$C^infty$函数,且$phi,phi_x,phi_y,
phi_{xz},phi_{yz}$在$O$点为$0$, $phi_{xx},phi_{yy}$在$O$点为$1$,
$phi_{xy}(O)=frac12,phi_{z}(O)=-frac12$.
$phi(x,y,z)=0$的隐函数记为$z=z(x,y)$(已知$z(0,0)=0$).请讨论$z=z(x,y)$在$(0,0)$点附近的极
值问题.
3.(40分)设$z=z(x,y)$是题2中的隐函数,
$Omega_delta$是$(0,0)$点的$delta$邻域,当$delta$充分小时,证明如下极限存在并求之[mathop
{lim }limits_{t o + infty } tiint_{{Omega _delta }} {{e^{ -
tzleft( {x,y}
ight)}}\,dxdy} .]
4.(20分)设$A$是一个$2$阶复方阵.考虑$2$阶复方阵的线性空间$M_2(mathbb C)$上的线性变换
[phi_A:M_2(mathbb C) o M_2(mathbb C);X mapsto AX-XA.]试确定$dim (ker (phi_A))$的所有可能的取值.
5.（30分）对于有理数域$mathbb Q$上的两个$n$阶方阵
[A = left( {egin{array}{*{20}{c}}0&1& cdots
&1\0&0& ddots & vdots \ vdots & ddots &
ddots &1\0& cdots &0&0end{array}}
ight),quad
ext{和}quad B = left( {egin{array}{*{20}{c}}0&0& cdots
&0\1&0& ddots & vdots \ vdots & ddots &
ddots &0\1& cdots &1&0end{array}}
ight).]
试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$,使得$A=T^{-1}BT$.
6.(20分) $mathbb R[x]$中有多项式$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$.试用系数$a_1,a_2,a_3,a_4$的关系式,给出$f(x)$能表达成某个不可约二次多项式$g(x)$之平方的充分必要条件.
7.(30分)欧氏平面上保定向的等距变换群的一个子群$G$,其中每一个非恒同的变换$g$都没有不动点,而且每一个平面上的点$p$在群$G$作用下
得到的轨道(即点集${g(p)|gin
G}$)若平面上都没有聚点.试证明$G$可以由一个或两个平移变换生成,即$G={nalpha|ninmathbb
Z}$或$G={nalpha+meta|n,minmathbb Z}$,其中$mathbb Z$为整数集,
$n,m$为任意整数, $alpha,eta$为线性无关的平移向量(也表示其对应的平移变换).
$nalpha+meta$即对应线性组合所表示的平移.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=36026
