设 $A$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵, $D$ 是对角元均大于零的实对角矩阵. 试证: $|D+A|>0$.
证明:
(1). 实反对称矩阵 $A$ 的特征值为纯虚数或零: $$eex ea &quad Aal=lmalquad(al eq 0)\ & a A^TAal=-AAal=-lm^2al\ & a 0leqsen{Aal}^2=al^*A^TAal=-lm^2al^*al\ & a lm^2leq 0. eea eeex$$
(2). 若 $D$ 为对角阵, 则由 (1), $D+A$ 的特征值为 $$ex 1+b_ki, 1-b_ki (1leq kleq s, b_kinbR),quad underbrace{1,cdots,1}_{n-2s}. eex$$ 而 $$ex |D+A|=prod_{k=1}^s (1+b_ki)(1-b_ki)=prod_{k=1}^s (1+b_k^2)geq 1. eex$$
(3). 对一般的 $D=diag(d_1,cdots,d_n), d_i>0$, 取 $$ex vLm=diag(sqrt{d_1},cdots,sqrt{d_n}), eex$$ 则 $$ex |D+A|=|vLm^2+A| =|vLm^T(E+vLm^{-T}AvLm^{-1})vLm| =|D|cdot |E+vLm^{-T}AvLm^{-1}|. eex$$ 注意到 $vLm^{-T}AvLm^{-1}$ 仍然是实反对称矩阵, 由 (2), $|E+vLm^{-T}AvLm^{-1}|>0$, $|D+A|>0$.