1. 试证: $$ex a,bgeq 1 a ableq e^{a-1}+bln b. eex$$
证明: 还记得 Young 不等式么? 直接令 $f(x)=e^x-1$, $f^{-1}(y)=ln (1+y)$, 而 $$ex (x-1)(y-1)leq int_0^{x-1}(e^t-1) d t +int_0^{y-1}ln(1+t) d t =1+e^{x-1}-x-y+yln y. eex$$ (当然, 您也可以按照 Young 不等式的证明方法直接证明哦)
2. 设 $fin C^1[0,1]$, 且 $f(1)-f(0)=1$, 试证: $$ex int_0^1 f'^2(x) d xgeq 1. eex$$
证明: 由 Schwarz 不等式, $$ex 1=[f(1)-f(0)]^2 =sez{int_0^1 f'(x) d x}^2 leq int_0^1 1^2 d x cdot int_0^1 f'^2(x) d x. eex$$
3. 试证: $$ex 0<q<p a ln frac{p}{q}leq frac{p-q}{sqrt{pq}}. eex$$
证明: $$ex sex{ln frac{p}{q}}^2 =sex{int_q^p frac{1}{x} d x}^2 leq int_q^p1^2 d x cdot int_q^p frac{1}{x^2} d x =(p-q)sex{frac{1}{q}-frac{1}{p}} =frac{(p-q)^2}{pq}. eex$$