若 $f(x)$ 可导, 且 $f'(x_0)>0$, 是否一定存在点 $x_0$ 某邻域使得在该邻域内单调递增?
解答: 不一定. 比如 $$ex f(x)=sedd{a{ll} x+2x^2sincfrac{1}{x},&x eq 0,\ 0,&x=0. ea} eex$$ 则 $f'(0)=1$, 但由 $$ex f'(x)=1-2cosfrac{1}{x}+4xsinfrac{1}{x} eex$$ 知 $$ex f'sex{frac{1}{(2n+1)pi}}=3,quad f'sex{frac{1}{2npi}}=-1. eex$$
设 $fin C^2[a,b]$ 适合 $f(a)=f(b)=0$. 试证: $$ex forall xin [a,b], exists xiin (a,b),st f(x)=frac{1}{2}(x-a)(x-b)f''(xi). eex$$
证明: 对任意固定的 $x$, 作 $$ex F(x)=f(t)-frac{f(t)}{(x-a)(x-b)}(t-a)(t-b), eex$$ 则 $$ex F(a)=F(x)=F(b)=0. eex$$ 应用三次 Rolle 定理, $$ex exists xiin (a,b),st F''(xi)=0. eex$$