定理 调和级数 $$vsm{n}frac{1}{n}$$ 发散.
证 若不然. 令 $S=vsm{n}frac{1}{n}<infty$, 则
$$vsm{n}frac{(-1)^n}{n}=S-2vsm{n}frac{1}{n}=S-S=0.$$
这与
$$vsm{n}frac{1}{n}=sex{1-frac{1}{2}}+sex{frac{1}{3}-frac{1}{4}}+cdots>0$$
矛盾. 故调和级数 $vsm{n}frac{1}{n}$ 发散.
类似可证： 若 $0<al<1$, 则级数 $vsm{n}frac{1}{n^al}$ 发散.
来自Hansschwarzkopf