一. 计算题 ($40'$)
1. $dps{lim_{x o 1}frac{(x^n-1)(x^{n-1}-1)cdots(x^{n-k+1}-1)}{(x^1-1)(x^2-1)cdots (x^k-1)}}$.
2. $dps{lim_{x o0}frac{ sqrt[n]{cos al x}-sqrt[m]{coseta x}}{sin^2x}}$, 其中 $m,n$ 为正整数.
3. $dps{vlm{n}sum_{k=1}^n sez{sqrt{1+frac{k^2}{n^3}}-1}}$.
4. 设 $$ex 0<x_nleq x_{n+1}+frac{1}{n^2}, eex$$ 讨论极限 $dps{vlm{n}x_n}$ 的存在性.
二. ($20'$) 给定曲面 $$ex Fsex{frac{x-a}{z-c},frac{y-b}{z-c}}=0, eex$$ 其中 $a,b,c$ 为常数, $u=F(s,t)$ 二阶连续可微, 梯度处处不为零. 证明:
(1). 曲面的切平面过一定点.
(2). 函数 $z=z(x,y)$ 满足 $$ex frac{p^2z}{p x^2}frac{p^2z}{p y^2}-sex{frac{p^2z}{p xp y}}^2=0. eex$$
三. ($20'$) 设 $$ex a_n>0,quad vlm{n}nsex{frac{a_n}{a_{n+1}}-1}=lm>0. eex$$ 试证: $dps{vsm{n}(-1)^{n-1}a_n}$ 收敛.
四. ($15'$) 求极限 $$ex lim_{t o +infty}e^{-t} int_0^tint_0^t frac{e^x-e^y}{x-y} d x d y, eex$$ 或证明此极限不存在.
五.
(1). 求积分 $$ex iint_D |cos (x+y)| d x d y, eex$$ 其中 $$ex D: 0leq xleq pi, 0leq yleq pi. eex$$
(2). 设 $0<al<1$, 求积分 $dps{int_0^1 f(t^al) d t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$ex int_0^1 |f(t)| d tleq 1. eex$$
六. ($25'$) 设 $$ex f(t)=int_1^{+infty} frac{cos xt}{1+x^2} d x. eex$$ 证明:
(1). 积分在 $bR$ 上一致收敛.
(2). $dps{vlm{t}f(t)=0}$.
(3). $f(t)$ 在 $bR$ 上一致连续.
(4). $dps{int_0^pi f(t)sin t d tleq0}$.
(5). $exists xi in [0,pi],st f(xi)=0$.
参考解答见家里蹲大学数学杂志.