[家里蹲大学数学杂志]第204期矩阵空间的一个直和分解

设 $M_n(bF)$ 是数域 $bF$ 上 $n$ 阶矩阵全体构成的线性空间, $V,W$ 分别是上三角矩阵、反对称矩阵全体构成的线性子空间, 则 $$ex M_n(bF)=Voplus W. eex$$

 

证明:

1.  设 $Ain Vcap W$, 则 $A$ 上三角 $ a a_{ij}=0, i>j$; $A$ 反对称 $ a a_{ii}=0$, $a_{ij}=-a_{ji}=0, i<j$. 因此, $A=0$.
2. 对任一 $Ain M_n(bF)$, 定义 $B=(b_{ij})in V$, $C=(c_{ij})in W$ 如下: $$ex b_{ij}=left{a{ll} a_{ij}+a_{ji},&i<j\ a_{ii},&i=j\ 0,&i>j ea ight. quadquadquadquad c_{ij}=left{a{ll} -a_{ji},&i<j\ 0,&i=j\ a_{ij},&i>j ea ight. eex$$ 则 $A=B+C$.