设 $u$ 是 $bR^n$ 上的调和函数, 且 $$ex sen{u}_{L^p}=sex{int_{bR^n}|u(y)|^p d y}^{1/p}<infty. eex$$ 试证: $uequiv 0$.
证明: 由 $$eex ea sev{u(x)}&=sev{frac{1}{omega_n R^n}int_{B_R(x)}u(y) d y}quadsex{omega_n: bR^nmbox{ 中单位球体积, 平均值定理}}\ &leq frac{1}{omega_n R^n} sex{int_{B_R(x)}|u(y)|^p d y}^{1/p} cdotsex{int_{B_R(x)}1^frac{p}{p-1} d y}^{1-1/p}quadsex{mbox{H"older 不等式}}\ &leqfrac{sen{u}_{L^p}}{sex{omega_nR^n}^{1/p}}\ & o0quadsex{R oinfty} eea eeex$$ 即知结论.