说明:
1. 大部分是自己做的, 少部分是参考文献做的, 还有几个直接给出参考文献.
2. 如果您有啥好的想法, 好的解答, 热切地欢迎您告知我, 或者在相应的习题解答网页上回复. 哪里有错误, 也盼望您指出.
3. 毕竟大学时学过高等代数, 想多学点矩阵论的东西 (matrix=magic), 就先选这本书看看了.
目录
第一章 预备知识
第二章 张量积与复合矩阵
第三章 Hermite 矩阵与优超关系
第四章 奇异值和酉不变范数
第五章 矩阵扰动
第六章 非负矩阵
第七章 符号模式
第八章 矩阵的应用
1. 设 $a_1,cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$ex sex{frac{1}{a_i+a_j}}_{n imes n} eex$$ 半正定.
2. (Oldenburgere) 设 $Ain M_n$, $ ho(A)$ 表示 $A$ 的谱半径, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 证明: $$ex vlm{k}A^k=0lra ho(A)<1. eex$$
3. 证明数值半径 $w(cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数.
4. 证明数值半径 $w(cdot)$ 和谱范数 $sen{cdot}_infty$ 满足如下关系: $$ex frac{1}{2}sen{A}_{infty} leq w(A)leq sen{A}_infty,quad Ain M_n. eex$$
5. (Gelfand) 设 $Ain M_n$, 证明: $$ex ho(A)=vlm{k}sen{A^k}_infty^frac{1}{k}. eex$$
6. 设 $Ain M_{m,n}$, $Bin M_{n,m}$. 证明: $$ex sex{a{cc} AB&0\ B&0 ea}mbox{ 和 }sex{a{cc} 0&0\ B&BA ea} eex$$ 相似, 从而给出定理 1.14 的另一个证明.
7. 设 $A_jin M_n$, $j=1,cdots,m$, $m>n$, 且 $dps{sum_{j=1}^m A_j}$ 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 $Ssubset sed{1,2,cdots,m}$ 满足 $|S|leq n$ 且 $dps{sum_{jin S}A_j}$ 非奇异.
8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.
9. 证明对任意的复方阵 $A$, $$ex ho(A)leq w(A)leq sen{A}_infty. eex$$
10. 矩阵 $A=(a_{ij})in M_n$ 称为严格对角占优, 如果 $$ex |a_{ii}|>sum_{j eq i}|a_{ij}|,quad i=1,cdots,n. eex$$ 证明: 严格对角占优矩阵是可逆的.
11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})in M_n$ 的特征值的集合, 记 $$ex D_i=sed{zinbC; |z-a_{ii}|leq sum_{j eq i}|a_{ij}|},quad i=1,cdots,n. eex$$ 证明: $$ex sigma(A)subset cup_{i=1}^n D_i, eex$$ 并且如果这些圆盘 $D_i$ 中有 $k$ 个与其余的 $n-k$ 个不相交, 则这 $k$ 个圆盘的并集恰好含有 $A$ 的 $k$ 个特征值.
12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 $Ain M_n$, $B,Cin M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是单位阵. 证明 $A+BC^*$ 可逆且 $$ex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}. eex$$
13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$ex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4. eex$$
14. 如果映射 $f:M_n o M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?
1. 对于怎样的 $Ain M_m$, $Bin M_n$, $Aotimes B=I$?
2. 给出定理 2.4 的另一个证明.
3. 设 $A,Bin M_n$, $A$ 正定, $B$ 半正定且对角元素都是正数, 则 $Acirc B$ 正定.
4. 设 $A=diag(A_1,cdots,A_k)in M_n$, 其中 $A_iin M_{n_i}$, 且 $sigma(A_i)cap sigma(A_j)=vno$, $i eq j$. 若 $Bin M_n$ 且 $AB=BA$, 则 $B=diag(B_1,cdots,B_k)in M_n$, 其中 $B_iin M_{n_i}$.
5. 设 $Ain M_m$, $Bin M_n$, $Cin M_{m,n}$. 若 $sigma(A)cap sigma(B)=vno$, 则 $$ex sex{a{cc} A&C\ 0&B ea}mbox{ 和 }sex{a{cc} A&0\ 0&B ea}mbox{ 相似}. eex$$
6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,Bin M_n$ 满足 $sigma(A)cap sigma(B)=vno$. 如果 $Cin M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.
7. (Marcus-Ree) 一个非负矩阵称为是双随机的, 若它的每行元素之和等于 $1$, 且它的每列元素之和也等于 $1$. 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶双随机矩阵, 则存在 $1,2,cdots,n$ 的一个排列 $sigma$ 使得对每个 $i=1,cdots,n$, $$ex a_{isigma(i)}geq sedd{a{ll} cfrac{1}{k(k+1)},&n=2k,\ cfrac{1}{(k+1)^2},&n=2k+1. ea} eex$$
8. 设 $kleq mleq n$. 怎样的矩阵 $Ain M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素?
9. 记 $dps{m=sex{natop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(cdot): M_n o M_m$ 是单射吗? 是满射吗?
1. 设 $Ain M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.
2. 设 $Ain M_n$, $Bin M_{r,t}$ 是 $A$ 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 $$ex s_j(B)leq s_j(A),quad j=1,cdots,minsed{r,t}. eex$$
3. (Aronszajn) 设 $$ex C=sex{a{cc} A&X\ X^*&B ea} eex$$ 为 Hermite 矩阵, $Cin M_n$, $Ain M_k$. 设 $A,B,C$ 的特征值分别为 $al_1geq cdotsgeq al_k$, $eta_1geq cdots eta_{n-k}$, $gamma_1geq cdotsgeq gamma_n$. 则对于满足 $i+j-1leq n$ 的任意的 $i,j$, $$ex gamma_{i+j-1}+gamma_nleq al_i+eta_j. eex$$
4. 设 $x,y,uinbR^n$ 的分量都是递减的. 证明:
(1). 若 $xprec y$ 则 $sef{x,u}leq sef{y,u}$.
(2). 若 $xprec_w y$ 且 $uinbR^n_+$, 则 $sef{x,u}leq sef{y,u}$.
5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.
6. 设 $A,Bin M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$ex A+Bmbox{ 正定当且仅当 }lm_j(A^{-1}B)>-1,quad j=1,cdots,n. eex$$
7. 设 $Ain M_n$ 正定, $1leq kleq n$. 则 $$ex prod_{j=1}^n lm_j(A)=max_{U^*U=I_k} det U^*AU,quad prod_{j=1}^n lm_{n-j+1}(A)=min_{U^*U=I_k} det U^*AU, eex$$ 其中 $Uin M_{n,k}$.
8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 $Ageq 0$, 则存在唯一的 $Bgeq 0$ 满足 $B^2=A$.
9. 用公式 $$ex t^r=frac{sin rpi}{pi}int_0^infty frac{s^{r-1}t}{s+t} d squad sex{0<r<1} eex$$ 证明定理 3.24.
10. 设 $A,B$ 是同阶半正定矩阵, $0leq sleq 1$. 证明: $$ex sen{A^sB^s}_infty leq sen{AB}_infty^s. eex$$
11. (Ky Fan) 对于 $Ain M_n$, 记 $Re A=(A+A^*)/2$. 证明: $$ex Re lm(A)prec lm(Re A), eex$$ 其中 $lm(A)$ 表示 $A$ 的特征值作成的向量, $Relm(A)$ 表取 $A$ 的特征值的实部所得向量.
12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,cdots,n$ 的一个排列 $sigma$ 使得 $$ex sum_{i=1}^nfrac{1}{a_{isigma(i)}}leq k. eex$$
13. (Caylay 变换) 记 $i=sqrt{-1}$. 若 $A$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$ex phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} eex$$ 是一个酉矩阵.
14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 $A=(a_1,cdots,a_n)in M_n$, 则 $$ex |det A|leq prod_{i=1}^n sen{a_i}, eex$$ 其中 $sen{cdot}$ 表示列向量的欧氏范数.
15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$ex maxsed{lm_j(A); Ain S_n[a,b]}mbox{ 和 } minsed{lm_j(A); Ain S_n[a,b]}, eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵.
1. (Fan-Hoffman). 设 $Ain M_n$, 记 $Re A=(A+A^*)/2$. 则 $$ex lm_j(Re A)leq s_j(A),quad j=1,cdots,n. eex$$
2. (Thompson). 设 $A,Bin M_n$, 则存在酉矩阵 $U, Vin M_n$ 满足 $$ex |A+B|leq U|A|U^*+V|B|V^*. eex$$
3. $Gin M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$ex s_1(G)=cdots=s_k(G)=1,quad s_{k+1}(G)=cdots=s_n(G)=0. eex$$ 证明对 $Xin M_n$, $$ex sum_{j=1}^k s_j(X) =maxsed{| r(XG)|; Gmbox{ 是个秩 }kmbox{ 部分等距矩阵, }Gin M_n}. eex$$ 再用这个表达式证明定理 4.9.
4. 设 $A=(a_{ij})in M_n$, 则 $$ex sex{|a_{11}|,cdots,|a_{nn}|}prec_ws(A). eex$$
5. 设 $A,Bin M_n$, 则 $$ex s_j(AB)leq sen{A}_infty s_j(B),quad s_j(AB)leq sen{B}_infty s_j(A),quad j=1,cdots,n. eex$$
6. 设 $A,Bin M_n$ 半正定, 则 $$ex s_j(A-B)leq s_jsex{ sex{a{cc} A&0\ 0&B ea}},quad j=1,cdots,n. eex$$
7. 设 $A_0in M_n$ 正定, $A_iin M_n$ 半正定, $i=1,cdots,k$, 则 $$ex r sum_{j=1}^k sex{sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j< r A_0^{-1}. eex$$
8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $dps{frac{1}{p}+frac{1}{q}=1}$, 设 $x,yin bR^n_+$, 则对 $bR^n$ 上的任何对称规度函数 $varphi$ 有 $$ex varphi(xcirc y)leq [varphi(x^p)]^frac{1}{p} [varphi(y^q)]^frac{1}{q}, eex$$ 其中 $x^p$ 表示将 $x$ 的每个分量取 $p$ 次方所得的向量.
9. 设 $sen{cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $sen{cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$ex sen{diag(1,0,cdots,0)}geq 1. eex$$
10. 设 $A,Bin M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$ex sen{AB}leq sen{Re(BA)}. eex$$
11. $M_n$ 上的范数 $sen{cdot}$ 称为是对称的, 若 $$ex sen{ABC}leq sen{A}_inftysen{C}_infty sen{B},quad forall A,B,Cin M_n. eex$$ 证明: $sen{cdot}$ 对称当且仅当 $sen{cdot}$ 是酉不变的.
12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $dps{frac{1}{p}+frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,Bin M_n$ 和酉不变范数有 $$ex sen{AB}leq sen{|A|^p}^frac{1}{p} sen{|B|^q}^frac{1}{q}. eex$$
13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,Xin M_n$, 则 $$ex sen{AXB^*}leq frac{1}{2}sen{A^*AX+XB^*B} eex$$ 对任何酉不变范数成立.
14. 设 $A,Bin M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$ex frac{1}{2}sen{sex{a{cc} A+B&0\ 0&A+B ea}}leq sen{sex{a{cc} A&0\ 0&B ea}} leq sen{sex{a{cc} |A|+|B|&0\ 0&0 ea}}. eex$$
15. (Fan-Hoffman) 设 $A,Hin M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$ex sen{A-Re A}leq sen{A-H} eex$$ 对任何酉不变范数成立.
16. (Fan-Hoffman) 设 $Ain M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $Win M_n$ 为酉矩阵, 则 $$ex sen{A-U}leq sen{A-W}leq sen{A+U} eex$$ 对任何酉不变范数成立.
17. (Ando-Zhan) 设 $A,Bin M_n$ 半正定, $sen{cdot}$ 是一个酉不变范数, 则 $$ex sen{(A+B)^r}leq sen{A^r+B^r},quad (0<rleq 1), eex$$ $$ex sen{(A+B)^r}geq sen{A^r+B^r},quad (1leq r<infty). eex$$
1. $Ain M_n$ 称为正交投影矩阵如果 $A$ 是 Hermite 矩阵且幂等: $$ex A^*=A=A^2. eex$$ 证明: 若 $A,Bin M_n$ 为正交投影矩阵, 则 $sen{A-B}_infty leq 1$.
2. 用 $im A$ 表示 $Ain M_n$ 的像空间: $$ex im A=sed{Ax;xinbC^n}. eex$$ 设 $A,Bin M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$ex sen{A-B}_infty<1. eex$$ 证明: $$ex dim im A=dim im B. eex$$
3. (Bhatia-Davis) 设 $A,Bin M_n$ 为酉矩阵, 则 $$ex d(sigma(A),sigma(B))leq sen{A-B}_infty. eex$$
4. (G.M. Krause) 令 $$ex lm_1=1,quad lm_2=frac{4+5sqrt{3}I}{13},quad lm_3=frac{-1+2sqrt{3}i}{13},quad v=sex{sqrt{frac{5}{8}},frac{1}{2},sqrt{frac{1}{8}}}^T. eex$$ 再令 $$ex A=diag(lm_1,lm_2,lm_3),quad U=I-2vv^T,quad B=-U^*AU, eex$$ 则 $U$ 为酉矩阵, $A,B$ 为正规矩阵. 验证 $$ex d (sigma(A),sigma(B))=sqrt{frac{28}{13}},quad sen{A-B}_infty =sqrt{frac{27}{13}}. eex$$ 于是, 对于这一对正规矩阵 $A,B$, $$ex d (sigma(A)),sigma(B))>sen{A-B}_infty. eex$$
5. (Friedland) 给定 $Ain M_n$, $lm_iin bC$, $i=1,cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $Din M_n$ 使得 $sigma(A+D)=sed{lm_1,cdots,lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.
1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?
2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $qgeq p$, $A^q>0$.
3. 设 $lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $lm$ 是 $A$ 的一个特征值.
4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0leq tleq 1$, 则 $$ex ho[tA+(1-t)A^T]geq ho(A). eex$$
5. (Levinger, 1970) 设 $A$ 是个不可约非负方阵, 则函数 $$ex f(t)= ho[tA+(1-t)A^T] eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上递增, 在 $[1/2,1]$ 上递减.
6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$ex vlm{k} [ ho(A)^{-1}A]^k =xy^T, eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.
7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵.
8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.
9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$ex ho(A)>|lm_2|geq cdot geq |lm_n|, eex$$ 并记 $$ex al=maxsed{a_{ij};1leq i,jleq n}, quad eta=min maxsed{a_{ij};1leq i,jleq n}. eex$$ 则 $$ex frac{|lm_2|}{ ho(A)}leq frac{al-eta}{al+eta}. eex$$
10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?
11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1leq kleq n$, $$ex det A[1,2,cdots,k]>0, eex$$ $$ex det A[almid 1,2,cdots,k]geq 0,quad det A[1,2,cdots,kmid al]geq 0,quad forall alin Q_{k,n}. eex$$
12. 设 $A$ 是个 $n$ 阶振荡矩阵, 则 $A^{n-1}$ 是全面正矩阵.
13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).
14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$ex A_{12}A_{23}cdots A_{k-1,k}A_{k1} eex$$ 是本原矩阵.
15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢?
1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:
(1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $Bin Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.
(2). 若 $A$ 的每个对焦元素为 $0$ 且 $A$ 的每个 $2$-圈都是负的, 则对于任何 $Bin Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为反对称矩阵.
2. 证明引理 7.13.
3. 一个 $n$ 阶符号模式方阵 $A$ 称为谱任意模式, 如果每个首一的 $n$ 次实多项式都是 $Q(A)$ 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式.
4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢?
5. 元素属于 $sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_bF(A)$ 记元素属于域 $bF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $Bin Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$. 设 $bF$ 的元素不少于 $3$ 个. 证明: $Q_bF(A)$ 中的每个矩阵非奇异当且仅当 $A$ 置换等价于一个对角元素非零的上三角矩阵.
6. 举例说明: 存在那样的实方阵 $A$, $A$ 的零元素的个数大于 $A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数.
本章没有习题.
