1. 对测度是 $sigma$ 有限的情形证明 Radon-Nikodym 定理.
证明: 设 $mu, u$ 均为 $sigma$ 有限的非负测度, 则存在分割 $$ex X=cup_{i=1}^infty X_i=cup_{j=1}^infty Y_j eex$$ 使得 $$ex mu(X_i)<infty,quad u(Y_j)<infty. eex$$ 写出 $$ex X=cup_{i,j=1}^infty (X_icap Y_j), eex$$ 则 $$ex mu(X_icap Y_j)<infty,quad u(X_icap Y_j)<infty. eex$$ 据测度有限的情形的结果, $$ex u(E_{ij})=int_{E_{ij}} g_{ij} d mu,quad forall E_{ij}subset X_icap Y_j. eex$$ 于是 $$ex u(E)=int_E sum_{i,j}g_{ij} d mu,quadforall Esubset X. eex$$
2. 验证 $C_0^infty(D)$ 关于上面的两个内积都是内积空间.
证明: $$ex int_D sum |f_j|^2 d x=0 lra f_j=0 (forall j) lra f=constlra fequiv 0.eex$$
错误指出:
Page 53, (16) 式上两行的和应该为即.