1. 证明: 若在 4.1 节中取 $S=sed{mbox{正整数}}$, $Y$ 是收敛数列构成的空间, $ell$ 由 (14) 式定义, 则由 (4) 给出的 $p$ 和由 (11) 定义的 $p$ 相等.
证明: $$ex p(x)=inf_{xleq yin Y}l(y)=inf_{a_nleq b_n,sed{b_n}in Y}vlm{n}b_n. eex$$ 由 $a_nleq b_n$ 知 $$ex vls{n}a_nleq vlm{n}b_n, eex$$ 而 $$ex vls{n}a_nleq p(x). eex$$ 另一方面, 对 $forall ve>0$, $forall k$, 取 $$ex y=(a_1,cdots,a_k,sup_{ngeq k}a_n+ve,cdots,sup_{ngeq k}a_n+ve,cdots), eex$$则 $xleq y$, $$ex p(x)leq l(y)=sup_{ngeq k}a_n+ve. eex$$ 对 $k$ 取下确界即有 $$ex p(x)leq vls{n}a_n+ve. eex$$ 再由 $ve>0$ 的任意性, $$ex p(x)leq vls{n}a_n. eex$$
2. 证明: 我们可以选择一个 Banach 极限, 使得对任意的 Cesaro 可加和的有界数列 $sed{c_1,c_2,cdots}$, 均有 $$ex LIM_{n oinfty}c_n=c, eex$$ 即其部分和的算术平均收敛到 $c$.
证明: 设 $Z$ 是所有 Cesaro 可加和的有界实数列构成的线性空间, 对 $$ex z=(c_1,c_2,cdots)in Z, eex$$ 定义线性泛函 $$ex l(z)=vlm{n}cfrac{c_1+cdots+c_n}{n}, eex$$ 则 $Ysubset Z$ ($Y$ 是所有收敛数列构成的线性空间) 且 $$eelabel{4_2_eq} yin Y a l(y)=vlm{n}b_nquadsex{y=(b_1,b_2,cdots)}. eee$$ 在 $$eex ea cfrac{c_1+cdots+c_n}{n} &=cfrac{c_1+cdots+c_{k-1}}{n} +cfrac{c_k+cdots+c_n}{n}\ &leq cfrac{c_1+cdots+c_{k-1}}{n} +cfrac{n-k+1}{n}sup_{ngeq k}c_n eea eeex$$ 中令 $n oinfty$ 即有 $$ex l(z)leq sup_{ngeq k}c_nquadsex{z=(c_1,c_2,cdots)}. eex$$ 由 $k$ 的任意性, $$ex l(z)leq inf_{kgeq 1}sup_{ngeq k}c_n=vls{n}c_n. eex$$ 这说明在 $B$ (所有有界实数列构成的线性空间) 的线性子空间 $Z$ 上, 线性泛函 $l$ 被 $dps{p(z)=vls{n}c_n}$ 所控制. 据第 3 章定理 7, $l$ 可受控延拓至整个 $B$. 注意到 eqref{4_2_eq}, 我们知 $$ex l(x)=LIM_{n oinfty}a_nquadsex{x=(a_1,a_2,cdots)in B}. eex$$
3. 证明: 存在 $t oinfty$ 的一个广义极限, 使得对定义在 $sed{tinbR; tgeq 0}$ 上的所有有界函数 $x(t)$, 该广义极限满足定理 3 中的性质 (i) 到 (iv).
证明: 设 $X$ 为定义在 $tgeq 0$ 上的所有有界函数 $x(t)$ 的全体, $$ex Y=sed{yin X; vlm{t}y(t)mbox{ 存在}}. eex$$ 定义 $$ex l(y)=vlm{t}y(t),quad yin Y. eex$$ 则由定理 1, $l$ 可延拓至 $X$. 定义 $$ex LIM_{t oinfty}x(t)=l(x),quad xin X, eex$$ 则此即为所求之广义极限 (定理中的 $dps{p(x)=vls{t}x(t)}$).
错误指出:
Page 28, (20) 应为 $c_{P+ ho}={f A}_{- ho}c_P$. 事实上, $$eex ea c_{P+ ho}( t)=1&lra tin P+ ho\ &lra t- hoin P\ &lra 1=c_P( t- ho)={f A}_{- ho}c_P( t). eea eeex$$
Page 28, 注记, 三维球面应改为三维空间中的球面.