1 计算 $$ex lim_{x o infty} sex{frac{4x+3}{4x-1}}^{2x-1}. eex$$
2计算 $$ex lim_{x o infty}frac{1}{n}sum_{i=1}^n ln frac{ipi}{n}. eex$$
3求隐函数 $x^2+y^2=cos(xy)$ 的导数.
4计算 $$ex lim_{x o 0}frac{xint_0^x e^{t^2} d t}{int_0^x te^{t^2} d t}. eex$$
5计算 $$ex int_0^1 d yint_0^y e^{-x^2} d x. eex$$
6计算 $$ex iiint_{x^2+y^2+z^2leq 1}(x^2+y^2+z^2) d x d y d z. eex$$
7确定函数 $f(x)=2x^3-5x^2+4x+2$ 的单调性、极值、拐点和凹凸性.
8设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 再设 $$ex F(x)=int_a^x f(t) d t+int_b^x frac{1}{f(t)} d t. eex$$ 求证:
(1)$F'(x)geq 2$;
(2) 方程 $F(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内有唯一解.
9已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, 二阶可导, 且 $f''(x)geq 1$. 求证: $|f'(0)-f'(1)|geq 1$.
10已知 $f(x)$ 连续可导. 求证:
(1)$$ex int_0^1 x^n f(x) d x =frac{f(1)}{n+1} -frac{1}{n+1}int_0^1 x^{n+1}f(x) d x; eex$$
(2)$$ex lim_{n oinfty}int_0^1 x^n f(x) d x=f(1). eex$$
11已知 $f(x)=pi (e^x+e^{-x})e^pi+e^{-pi}$, 求 $f(x)$ 在 $[-pi,pi]$ 上的 Fourier 级数.
12计算 $dps{sum_{n=1}^infty frac{(-1)^n}{(2n)^n}}$.
13设 $f(x)$ 在 $[0,infty)$ 上连续, $dps{int_0^infty f(x) d x, int_0^infty f'(x) d x}$ 都收敛. 证明: $dps{lim_{x oinfty}f(x)=0}$.