1 ($15'$) 平面 $bR^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点, 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $vGa$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线. 现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 $R$, 记 $$ex gamma: bR^2cupsed{infty} o bR^2cupsed{infty} eex$$ 为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Qin bR^2s sed{P}$ 映成射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 且满足 $overrightarrow{PQ}cdot overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求证: $gamma(vGa)$ 为抛物线.
2 ($10'$) 设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n imes 1$ 矩阵 $G(t)$ 分别是 $$ex B(t)=(b_{ij}(t)),quad b(t)=sex{a{l} b_1(t)\ vdots\ b_n(t) ea}, eex$$ 其中 $b_{ij}(t)$ 和 $b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式, $i,j=1,2,cdots,n$. 记 $d(t)=det B(t)$, $d_i(t)$ 为用 $b(t)$ 代替 $B(t)$ 行列式中的第 $i$ 列后所得的 $n$ 阶矩阵的行列式. 若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组. 试证明: $d(t), d_1(t), d_2(t),cdots, d_n(t)$ 必有次数 $geq 1$ 的公因式.
3 ($15'$) 设 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上二阶连续可微, $f'(0)=1$, $f''(0) eq 0$, 且 $0<f(x)<x, xin (0,a)$. 令 $x_{n+1}=f(x_n), x_1in (0,a)$.
(1) 求证: $sed{x_n}$ 收敛并求其极限;
(2) 试问 $sed{nx_n}$ 是否收敛? 若收敛, 求出其极限; 若不收敛, 请说明理由.
4 ($15'$) 设 $a>1$, $f:(0,+infty) o (0,+infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+infty$ 的正数列 $sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n), n=1,2,cdots$.
5 ($20'$) 设 $f:[-1,1 obR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$ex g(tx+(1-t)y)leq tg(x)+(1-t)g(y),quad forall x,yin [0,1],quad forall tin [0,1]. eex$$ 试证: $$ex 2int_{-1}^1 f(x)g(x) d x geq int_{-1}^1 f(x) d xcdot int_{-1}^1 g(x) d x. eex$$
6 ($25'$) 设 $bR^{n imes n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,cdots,n$. 记 $vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,cdots,n$; 并让 $phi: bR^{n imes n} o bR^{n imes n}$ 为可乘映照, 即满足 $$ex phi(AB)=phi(A)cdot phi(B),quad forall A,Bin bR^{n imes n}. eex$$ 证明:
(1) 对 $forall A,Bin vGa_r$, 有 $ ankphi(A)= ankphi(B)$.
(2) 若 $phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $$ex phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},quad forall i,j=1,2,cdots,n. eex$$