1. 设 $f:bR o bR$ 连续, 且满足 $$ex sup_{x,yinbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<infty, eex$$ $$ex vlm{n}frac{f(n)}{n}=2014. eex$$ 试证: $$ex sup_{xinbR}|f(x)-2014x|<infty. eex$$
2. 设 $sed{f_i}_{i=1}^n$ 在单位圆 $D=sed{z; |z|<1}$ 内解析, 在 $ar D$ 上连续, 试证: $$ex phi(z)=sum_{i=1}^n |f_i(z)| eex$$ 在 $p D$ 上取得最大值.
3. 试证: 如果存在一个共型映射把圆环 $sed{z; r_1<|z|<r_2}$ 映为圆环 $sed{z; ho_1<|z|< ho_2}$, 则 $$ex frac{r_1}{r_2}=frac{ ho_1}{ ho_2}. eex$$
4. 设 $U(xi)$ 是 $bR$ 上的有界函数, 且只有有限多个间断点, 试证: $$ex P_U(x,y)=frac{1}{pi}int_{bR} frac{y}{(x-xi)^2+y^2}U(xi) d xiquadsex{y>0} eex$$ 是调和的; 并且如果 $xi$ 为 $U$ 的连续点, 则 $$ex lim_{(x,y) o (xi,0)}P_U(x,y)=U(xi). eex$$
5. 试证海森堡不等式: $$ex int_{bR} x^2|f(x)|^2 d xcdot int_{bR} xi^2|hat f(xi)|^2 d xi geq frac{1}{16pi^2}sez{int_{bR} |f(x)|^2 d x}^2. eex$$
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